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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
facteurs primaires de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(1-{\frac {x}{b}}\right)e^{\mathrm {P} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9538944b1e42e64f04e1159d181cd736d8b7f99)
étant un polynôme d’ordre
en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Pour démontrer ce point capital, je dois faire usage de certaines
inégalités que je vais d’abord établir.
Cherchons une limite supérieure de
![{\displaystyle |\nabla (y+ix)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e829fff29599d728564e842fdbc4eb257d1d50)
Comme la fonction
est périodique de période 2, j’e pourrai toujours
supposer que
est compris entre
et
On aura alors
![{\displaystyle \left|q^{2}+q_{1}+(y+ix-2n)^{2}\right|<q^{2}+|q_{1}|+x^{2}+(y-2n)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6b97c044ed8a3ea0f547f38eb26da5e16b9df7)
et, par conséquent, en posant comme plus haut,
![{\displaystyle \lambda =q^{2}+|q_{1}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f34bb337151c13a79a1e1b0bac83d5c725005b)
il viendra en faisant usage de notre inégalité fondamentale
(α)
|
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Le second membre de cette inégalité est une fonction de
que
je désignerai par ![{\displaystyle \mathrm {F} (x^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0be95c51634fe0330d5c7f0f31905ffcf075380)
Posons pour un instant
et considérons la fonction
Il est aisé de voir qu’elle est de genre 1.
En effet, la fonction
est de genre 0 et peut se mettre sous
la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} (x)=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {x}{b_{n}^{3}}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf4a31fe7f165677ee9bb38b3ae5577f545fa18)
Je représente par
les racines de l’équation
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} (t^{3})=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {1}{b_{n}}}\right)\left(1-{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\right)\left(1-{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a120af28aa3dd98b1b29447e8250e8a13ce95765)
ou
![{\displaystyle \mathrm {F} (t^{3})=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {1}{b_{n}}}\right)e^{\frac {1}{b_{n}}}\Pi \left(1-{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\right)e^{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\Pi \left(1-{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}\right)e^{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe44f71e4fc09a7b89a6fb6da2420254c218ea4b)
On vérifierait sans peine que les trois produits du second membre
sont absolument convergents.