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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.
Je poserai ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}&=\lambda ^{p+1}\mathrm {C} _{i},\\\mathrm {Y} _{i}^{k}&=\lambda \mathrm {Z} _{i}^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870f8b153042c04c59210bcfa304c656c2b68d99)
Ce que je me propose d’établir, c’est que
reste fini pour ![{\displaystyle \lambda =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5ff28369e2cbac690932c15f86fab8f05d3d22)
L’équation (θ) étant satisfaite aux termes près de l’ordre
nous aurons
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=\lambda ^{p+2}\mathrm {H} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71958a6b47e29ca4de7521829dab0ecf2eabea01)
restant fini pour
d’où
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {Z} _{i}^{k}\mathrm {C} _{i}=\mathrm {H} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28b9a6db461b64b1b0c51778be1619da187d47c)
Il suit de là que
reste fini pour
pourvu que le déterminant
des
ne s’annule pas pour ![{\displaystyle \lambda =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5ff28369e2cbac690932c15f86fab8f05d3d22)
Or ce déterminant se réduit pour
à
![{\displaystyle \pm \alpha _{1}'.\alpha _{2}'...\alpha _{n}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f6d9394f60a4b3723e2fbf72a95ad8364e6d76)
Il n’est donc pas nul.
C.Q.F.D.
165.Je reviens maintenant au problème du no 162. Je me propose
de démontrer que (7 e) est une conséquence de (4 e), (6 c′)
et (8 e), en supposant, bien entendu, comme nous l’avons fait plus
haut, qu’on ait préalablement satisfait aux équations (4 a), (4 b)
(6 a), (6 b), (8 a), (8 b), (1 a), (1 b).
Ces hypothèses peuvent se traduire de la manière suivante.
Dire que (4 a), (4 b) et (4 e) sont satisfaites, c’est dire que
l’on a
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} +\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f68497d12f1271111f29aebb2b806d00b2dd16)
Je désigne par
toute fonction développable suivant les puissances
croissantes de
et périodique par rapport aux
et aux
et par
toute fonction
dont la valeur moyenne s’annule
pour
On en déduit
(α)
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