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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.
est nul ainsi que la valeur moyenne d’une dérivée prise par rapport
à
ou
nous trouverons
![{\displaystyle \mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}'}}\right]+\mathbb {S} \,n_{k}^{2}\left[{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}'}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07800e9e5524ee6d68915db10927434b97444799)
Dans le second membre, considérons d’abord le terme en
il nous donnera
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{2}}{d\tau _{i}^{0}}}+{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\Lambda _{0}}}\Lambda _{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\lambda _{0}}}\lambda _{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}\tau _{k}^{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}\sigma _{k}^{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c06cc63abd3f82d0900950e2d163cfdbbf58c47)
ou bien
![{\displaystyle \Phi +{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\lambda _{0}}}{\big [}\lambda _{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf49214f188b08202b317a05ef5b0a3f618ba8a)
et la valeur moyenne sera
![{\displaystyle \Phi +{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b728742b27c192f144cff1c0b77ff55a2856e2)
On opérerait de même pour
Cela va nous permettre d’écrire
ce que deviennent les équations (7) et (8) quand on y prend dans
les deux membres des termes du second degré en
On trouve
(7 e)
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(8 e)
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et
étant les seconds membres des équations (22) du no 155
(p. 148), d’où les équations (7 e) et (8 e) se déduisent d’ailleurs
aisément. Aux équations (7 e) et (8 e) nous adjoindrons la suivante,
obtenue en prenant les valeurs moyennes dans (6 b′),
(6 c′)
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Nous allons maintenant, à l’aide des équations (4 e), (7 e), (8 e),
(6 c′), déterminer
![{\displaystyle {\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{i}'^{2},\quad {\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15566c21ae7194af57ea77d211becf10adce8ac)
Ces équations ne sont d’ailleurs pas distinctes, et au Chapitre XIV