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CHAPITRE XV.
ne dépende pas des
mais seulement des
Nous aurons alors
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=\mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b485f05b10b5bf1d10c11462eab8351b2961568d)
et
![{\displaystyle {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}+\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d261eba20daa6b1123f5628a61b5d887c9e057a)
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {dy_{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\right)=\mathrm {H} {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}=\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d42584cb1cea82329f0a967e25166dfc9398d2f)
puisque
ou
se réduit à zéro pour
,
et est par conséquent indépendant des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Il résulte de là que le second membre de (8) sera encore une
fonction
Comme la différentiation de (4) donne
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\right)=\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fd5b1f18363f9082c7e1bcdf95d5574f1a5d53)
il vient
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\right)=\mathrm {H} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af38c7ec56cb6e7ed50ce4c8d697e15d83003ea6)
étant une fonction
d’où
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} _{k}{\frac {\Delta _{i.k}}{\Delta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea73c2d43b494a7dcb1763a21e9f745e09b725c)
étant le déterminant des
en y comprenant, bien entendu, les
les
et les
Quant à
c’est un des mineurs de ![{\displaystyle \Delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f768bd0f5ad6d36e95172cf0e044e88c5d119dc)
Pour
se réduit à 1,
à 1 ou à 0 :
est donc indépendant des
On a par conséquent
C.Q.F.D.
164.Revenons maintenant aux hypothèses du no 159 ; adoptons-en
les notations et convenons que tous les renvois se rapportent
aux équations de ce no 159. Il s’agit d’établir :
1o Que les équations (3) peuvent se déduire des équations (4),