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CHAPITRE XV.

doit être une différentielle exacte et il en sera naturellement de même de

$d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}-{\textstyle \sum }\,d\left(\xi _{i}^{1}\eta _{i}\right).$

Je remarque enfin que $\mathrm {S}$ doit être aussi développé selon les puissances des $\alpha _{i}$ et je désigne par $\mathrm {S} _{p}$ l’ensemble des termes de degré $p.$

Je pose aussi

${\begin{aligned}x_{i}&=\xi _{i}\cos w_{i}+\eta _{i}\sin w_{i},\\y_{i}&=\xi _{i}\sin w_{i}-\eta _{i}\cos w_{i}\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}x_{i}&={\textstyle \sum }\,x_{i}^{p},&y_{i}&={\textstyle \sum }\,y_{i}^{p},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}x_{i}^{p}&=\xi _{i}^{p}\cos w_{i}+\eta _{i}^{p}\sin w_{i},\\y_{i}^{p}&=\xi _{i}^{p}\sin w_{i}+\eta _{i}^{p}\cos w_{i},\\x_{i}^{1}&=\xi _{i}^{0}\cos w_{i}+\eta _{i}^{0}\sin w_{i}=\alpha _{i},\\y_{i}^{1}&=0.\end{aligned}}$

On trouve d’abord aisément

$n_{k}^{0}=-2\mathrm {A} _{k}.$

Observons ensuite que les équations (2) nous donnent

(3)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\cos w_{i}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\sin w_{i}-n_{i}y_{i},$

(4)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\sin w_{i}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\cos w_{i}+n_{i}x_{i}.$

Nous allons calculer nos séries à l’aide de l’équation (4), de l’équation

(5)

$\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

et de

(6)

${\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}-{\textstyle \sum }\,{\frac {d\left(\xi _{i}^{1}\eta _{i}\right)}{dw_{k}}}\cdot$

Les équations (3) et par conséquent les équations (2) et (1) s’en déduisent, en effet, très aisément.