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CHAPITRE XV.

Nous avons d’abord à former l’équation qui doit être analogue à l’équation (6) du n^o 158 et à l’équation (6) du numéro suivant.

Cette équation sera

(6 bis)

{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}&=\left(\Lambda -\Lambda _{0.0}\right){\frac {d\lambda }{dw_{k}}}+\left(\Lambda '-\Lambda _{0.0}'\right){\frac {d\lambda '}{dw_{k}}}\\&\quad +{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}\right)}{dw_{k}}}\end{aligned}}

avec une équation analogue où $w_{k}$ est remplacé par $w_{k}'.$

À cette équation (6 bis) et à l’équation des forces vives

(4 bis)

\mathrm {F} =\mathrm {const.}

nous adjoindrons les suivantes. En premier lieu,

(1 bis)

{\frac {d\lambda }{dt}}={\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }},

à laquelle il convient d’ajouter une autre équation de même forme où $\Lambda$ et $\lambda$ sont remplacés par $\Lambda '$ et $\lambda '.$ D’ailleurs disons une fois pour toutes que, sans qu’il soit nécessaire de le répéter, il sera convenu qu’à toute équation non symétrique en $\Lambda$ et $\Lambda '\,;$ $\lambda$ et $\lambda ',$ etc., il faut en adjoindre une autre où ces lettres sont permutées. Les signes ${\textstyle \sum }$ et $\mathbb {S}$ conservent le même sens que dans le numéro précédent. En second lieu, nous aurons encore des équations analogues aux équations (4) du n^o 159. Pour cela posons, comme dans ce numéro,

{\begin{aligned}x_{i}&=\alpha _{i}\cos w_{i}'+\tau _{i}\sin w_{i}',\\y_{i}&=\alpha _{i}\sin w_{i}'-\tau _{i}\cos w_{i}',\end{aligned}}

x_{i}^{p.q}=\sigma _{i}^{p.q}\cos w_{i}'+\tau _{i}^{p.q}\sin w_{i}',\quad \ldots ,

d’où

{\begin{aligned}x_{i}^{0.1}&=\alpha _{i},&y_{i}^{0.1}&=0.\end{aligned}}

Nous aurons alors

(7)

{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\cos w_{i}'-{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}\sin w_{i}'-n_{i}'y_{i},

(8)

{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\sin w_{i}'+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}\cos w_{i}'-n_{i}'x_{i}.