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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
Nous avons vu, en effet, que
![{\displaystyle \Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b386c2c6963d3f2f9a2bfa0445dfa231a87800fd)
doit être la différentielle exacte d’une fonction dont toutes les
dérivées sont périodiques ; il en sera donc de même des expressions
suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma \,\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}&+\Sigma \,\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{0},\\\Sigma \left(\Lambda _{1}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{0}\,d\lambda _{1}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{0}+\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{1}\right)\\\Sigma \left(\Lambda _{2}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{1}\,d\lambda _{1}+\Lambda _{0}\,d\lambda _{2}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{2}\,d\tau _{i}^{0}+\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{1}+\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{2}\right),\;\;\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf5293ac393cd86c5e2d17067fddcb23fbebf86)
Dans chacune de ces expressions, le premier signe
s’étend aux
deux planètes, de telle sorte, par exemple, que
![{\displaystyle \Sigma \,\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}=\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{0}'\,d\lambda _{0}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc7cd61cf015a781d1fffee3add74bdffc7d7a3)
Si nous regardons un instant les
comme des constantes et les
comme seuls variables, ces expressions demeureront a fortiori
des différentielles exactes, mais
et
seront nuls, de sorte que
![{\displaystyle \sigma _{i}^{p}\,d\tau _{i}^{0}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d6481ec4dc872e5a6c0c835c8fdcaad781caba)
et
![{\displaystyle \quad \sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{p}=d\left(\sigma _{i}^{0}\tau _{i}^{p}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94943ed5d438014b51819caa1db2573ad4cce9f5)
seront des différentielles exactes. Comme il en est de même de
et que
les expressions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{1}\,dw_{1}&+\Lambda _{1}'\,dw_{2},\\\Lambda _{2}\,dw_{1}+\Lambda _{2}'\,dw_{2}&+\Sigma \,\Lambda _{1}\,d\lambda _{1}+\Sigma \,\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{1},\\\Lambda _{3}\,dw_{1}+\Lambda _{3}'\,dw_{2}+\Sigma \left(\Lambda _{2}\,d\lambda _{1}+\Lambda _{1}\,d\lambda _{2}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{2}\,d\tau _{i}^{1}+\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{2}\right),\;\;\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130571c1ce01359e4830dbff3fd24a9ebabc1d72)
seront encore les différentielles exactes de fonctions dont les dérivées
sont périodiques et dont, par conséquent, les dérivées par
rapport à
et
ont une valeur moyenne indépendante des ![{\displaystyle w'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0bd8f5092f3cce6b9069580c3e9b705767fc46)
En raisonnant alors comme au numéro précédent quand nous
avons déduit les équations (14) des équations (13), nous trouverons
(8)
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