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CHAPITRE XIV.
devra être une différentielle exacte ; les différentielles suivantes
![{\displaystyle \Sigma 'x_{i}^{0}\,dw_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9268f3d3036faf0fc2a052815a6f7925bbeda01c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Sigma '\left(x_{i}^{1}\,dw_{i}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{1}\right),\\&\Sigma '\left(x_{i}^{2}\,dw_{i}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{2}\right),\\&\Sigma '\left(x_{i}^{3}\,dw_{i}+x_{i}^{2}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{2}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{3}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c12fcd1e10f62550a346a006a83f331f374c27b)
devront donc être exactes. Par le signe
on doit entendre que la
sommation doit être étendue à tous les indices
et de plus aux
lettres accentuées.
S’il y a, par exemple,
lettres
sans accent et
lettres
affectées d’accent, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma 'x_{i}^{0}\,dw_{i}&=x_{1}^{0}\,dw_{1}+x_{2}^{0}\,dw_{2}+\ldots +x_{q}^{0}\,dw_{q}\\&+x_{1}'^{0}\,dw_{1}'+x_{2}'^{0}\,dw_{2}'+\ldots +x_{\lambda }'^{0}\,dw_{\lambda }'.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74724ca16994732ff987c71d9572650d738cfaf6)
Comme, d’autre part, les
et les
sont des constantes,
![{\displaystyle \Sigma 'x_{i}^{0}\,dy_{i}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c297ae6d3db05f4536c218c444c6ca0a0557d8b)
sera toujours une différentielle exacte, de sorte que nous pourrons écrire
(13)
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De plus,
devront être des fonctions des
et
des
dont les dérivées seront périodiques.
Voyons comment l’équation
![{\displaystyle \Sigma 'x_{i}^{2}\,dw_{i}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}=d\varphi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf1ba587b937f5311d095f9638ca424f3862d7d)
va nous permettre de déterminer
elle nous donnera
![{\displaystyle x_{k}^{2}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\frac {d\varphi _{2}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e765e53ee9fd181c514f82eaf4c85c80cac43d)
Mais, comme les dérivées des
doivent être périodiques, on aura
![{\displaystyle \left[{\frac {d\varphi _{2}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0b1e7467a72f5fa567dc15ba11110843fbda17)