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CHAPITRE XIII.
Soit maintenant
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} \cos(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}+k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ad0059c29a0bf441774d3278c8d0182c240897)
et
étant des fonctions de
Telle doit être la
forme de la fonction
qui est périodique par rapport aux ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Soient
et
ce que deviennent
et
quand on y remplace
par
Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{0}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+k_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c7e32a67988e16114002f5626e892140628794)
ce que devient
quand on y remplace
par
et
par
La
fonction
sera définie par l’équation
![{\displaystyle \sum n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{0}}{dw_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6866e3ac1b99c635494c1a58e46074571fbdb683)
d’où
![{\displaystyle x_{i}^{1}=\sum {\frac {\mathrm {D} _{0}m_{i}}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}}}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+k_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611a60a4199828e7816f5a75193c6df8f730ad49)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {\mathrm {D} _{0}m_{i}}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}}},\quad h=k_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0269cb838a8c680ac5d5c67e91bf281b184fe8)
Si
ou
s’annule quand on a
et
est nul.
Donc
et
contiendront des termes séculaires mixtes, mais ne
contiendront pas de termes séculaires purs.
Au contraire les expressions
![{\displaystyle \xi _{3}^{2},\quad \xi _{4}^{2},\quad \ldots ,\quad \xi _{n}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db45bef316daf393ba300626bca4eacfa31378f4)
pourront contenir des termes séculaires purs.
Appliquons cela au Problème des trois Corps.
Reprenons les séries du no 140.
Les
sont nuls, à l’exception de
et
Développons les quantités
et
suivant les puissances croissantes
de
il viendra
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\Lambda &=\Lambda _{0}&{}+{}&\mu \,\Lambda _{\displaystyle {\text{① }}}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}\Lambda _{\displaystyle {\text{① }}}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\\Lambda '&=\Lambda _{0}'&{}+{}&\mu \,\Lambda _{\displaystyle {\text{② }}}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}\Lambda _{\displaystyle {\text{② }}}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {V} _{i}&=\mathrm {V} _{i}^{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {V} _{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}\mathrm {V} _{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2568ba1e1df49c4cb3629551d30de81d4a5446ed)