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APPLICATION AUX ORBITES.
Soit
ce qu’on obtient en remplaçant dans
chaque variable
ancienne par la variable nouvelle correspondante, c’est-à-dire
par
par
par
etc.
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=\Lambda _{1}+\mu \Lambda _{2}+\ldots ,\\\Lambda '&=\Lambda _{1}'+\mu \Lambda _{2}'+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f8759b6b0d65a47098ac0ab797a939bb727ca0)
le développement de
et de
suivant les puissances de
Il est
clair que
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}'=\mathrm {F} _{1}''+{\frac {d\mathrm {F} _{0}'}{d\Lambda _{1}}}\Lambda _{2}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}'}{d\Lambda _{1}'}}\Lambda _{2}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5be83d7786485c47a7e288dfd4b9474e636fdb)
Calculons
On trouve aisément
![{\displaystyle \Lambda =\mathrm {A} -\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}-\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}+\eta _{1}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380322c850c2aa2605c5fcc147b647f64588816b)
Donc, pour obtenir
il faut dans l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} -\Lambda _{1}}{\mu }}-\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{\mu \,d\lambda }}-\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {C} '}{\mu \,d\lambda }}+\eta _{1}{\frac {d\mathrm {B} }{\mu \,d\lambda }}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {B} '}{\mu \,d\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18e74135cad2a9293e6afa073409c9583a98be2)
il faut, dis-je, faire
et par conséquent
Donc
(et il en est de même de
) est une fonction périodique des
linéaire des
et des
et sa valeur moyenne (par rapport à
et
) ne dépend ni des
ni des ![{\displaystyle \eta _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1fcf77806a427750d6b61f960328a643295f5b)
Donc
sera périodique en
et
Soit
sa valeur moyenne,
celle de
On obtiendra
en remplaçant dans
chaque
variable ancienne par la variable nouvelle correspondante, et
ne différera de
que par une quantité indépendante des
et
des
Nous avons vu au Chapitre X quelle est l’importance des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\eta }},&{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\xi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09dda0375c17f89f2b57ace38af81e4916478c49)
pour l’étude des variations séculaires des éléments. Après le changement
de variables que nous venons de faire, elles seraient remplacées
par les suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} ''}{d\eta _{1}}},&{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} ''}{d\xi _{1}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37010eeb5f6a453ddd447928aba4d933aeeb7fd1)