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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
On peut toujours trouver trois nombres réels positifs
et
tels qu’en posant
(1)
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on ait
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\theta &<\theta '\\\varphi &<\varphi '\\\psi &<\psi '\\\end{aligned}}\right\}(\mathrm {arg.} \;x,y,z,\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b05738c368327757b22c11cf53863813e32796)
Envisageons les équations
(2 bis)
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qui peuvent aussi s’écrire
(3 bis)
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On peut satisfaire à ces équations par des séries analogues aux
séries (3), ordonnées comme elles suivant les puissances de
et
et se réduisant comme elles à
pour
Les principes du no 24 montrent que les séries (3) convergeront
toutes les fois que les séries (3 bis) convergeront elles-mêmes.
Or les équations (2 bis) s’intègrent aisément, et l’on trouve que
les équations (3 bis), qui en sont les intégrales, peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right),\\y&=y_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right),\\z&=z_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67fa077972cd53799a2dcad37fbbf795203c497)
où nous avons posé, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {S} =1-\alpha (x_{0}+y_{0}+z_{0}),\qquad h={\frac {6\alpha \mathrm {M} }{1-\beta \mu }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d604668c98eb8678ea9075c30a895e4453006d)