46
CHAPITRE I.
Supposons maintenant que le système soit canonique et revenons
au système (1) du no 8 et à l’équation
(3)
|
|
|
qui y est corrélative.
La connaissance d’une solution particulière de cette équation
(3) nous fournira un système de relations invariantes.
Soit, en effet,
cette solution ; considérons le système
(4)
|
|
|
je dis que ce sera un système de relations invariantes par rapport
aux équations canoniques (1).
On trouve, en effet, en différentiant l’équation (3),
(5)
|
|
|
Posons
![{\displaystyle \varphi _{i}=y_{i}-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a94fdd8ba67b3a2f2506d8a91ca766c1198269)
de manière à ramener le système (4) à la forme (2),
(2)
|
|
|
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{i}}}&=1,&{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}&=0\quad (i\gtrless k),&{\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dx_{i}\,dx_{k}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a271bfe5a08a172b17cd7441b02d07d489de3f9a)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=\sum _{k}{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}{\frac {dy_{k}}{dt}}+\sum _{k}{\frac {d\varphi _{i}}{dk_{k}}}=\sum _{k}\left({\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{k}}}-{\frac {d\varphi _{i}}{dy_{k}}}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{k}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0c2f7934342d8c4469f79b3af8e0888427ccdb)
ce qui montre que les équations (5) se réduisent à
![{\displaystyle {\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=0\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b98ef9105592f508b9a0090f51f04afaa4d688c)