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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

la forme canonique ne sera pas altérée, si l’on prend pour variables nouvelles les $h_{i}$ et les $h'_{i},$ et qu’on change en même temps $\mathrm {F}$ en $-\lambda \mathrm {F} .$

Mouvement képlérien.

8.Appliquons les principes qui précèdent au mouvement képlérien.

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons toujours que les unités aient été choisies de telle sorte que l’attraction des deux unités de masse à l’unité de distance soit égale à l’unité de force ou, en d’autres termes, que la constante de Gauss soit égale à 1.

Considérons donc le mouvement d’une masse mobile sous l’action d’une masse fixe située à l’origine des coordonnées et égale à $\mathrm {M} .$ Soient $x_{1},x_{2},x_{3}$ les coordonnées de la masse mobile, et $y_{1},y_{2},y_{3}$ les composantes de la vitesse ; si nous posons

$\mathrm {F} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2}}-{\frac {2\mathrm {M} }{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}},$

les équations du mouvement s’écrivent

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}.\end{aligned}}$

D’après le n^o 3, l’intégration de ces équations est ramenée à celle de l’équation aux dérivées partielles

(2)

$\left({\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}}\right)^{2}\!+\left({\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}}\right)^{2}\!+\left({\frac {d\mathrm {S} }{dx_{3}}}\right)^{2}\!-{\frac {2\mathrm {M} }{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}=2h,$

où $h$ est une constante arbitraire. Posons

${\begin{aligned}x_{1}&=r\sin \omega \cos \varphi ,&x_{2}&=r\sin \omega \sin \varphi ,&x_{3}&=r\cos \omega \,;\end{aligned}}$

l’équation deviendra

$\left({\frac {d\mathrm {S} }{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\omega }}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {2\mathrm {M} }{r}}+2h.$

On peut satisfaire à cette équation en introduisant deux con-