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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Les lettres
(23)
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ont la même signification que dans le no 108. La seule différence
est que nous n’avons ici que 2 degrés de liberté et que le paramètre
par rapport auquel nous développons et qui joue le rôle
de
est ici égal à
les quantités (23) sont donc des fonctions
connues de
et de
Quant à
et
ce sont
des termes complémentaires quelconques. Je me propose de rechercher à
quelle condition
est développable suivant les puissances de
des
et des ![{\displaystyle v_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c816d8f7a258ef517a2bca018fbdb4ca8db1dc5)
Posons pour abréger
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\alpha x_{i}^{1}&{}+{}&\alpha ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+\alpha ^{p+1}x_{i}^{p+1}&&{}+{}\alpha ^{p+1}&v_{i}&=x_{i}',\\\alpha y_{i}^{1}&{}+{}&\alpha ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+\alpha ^{p}y_{i}^{p}&&{}+{}\alpha ^{p}&v_{i}'&=y_{i}'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302d51d77f201edb2dabfb86ddb7d26e6aed502b)
La condition nécessaire et suffisante pour que
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{i}^{0}+x_{i}',\,n_{i}t+y_{i}^{0}+y_{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbaa253fd05383c831e28bb5ab3e29cb9efaf413)
soit développable suivant les puissances croissantes des
et
des
et, par conséquent, suivant celles de
des
et des
sera évidemment que le point
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&y_{i}&=n_{i}t+y_{i}^{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0d10e70d0a66962013f42cf6183545a3843cef)
ne soit pas un point singulier pour ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
Or
et
sont des constantes ; les
sont des fonctions de
définies par les équations (8) du no 108. Mais il arrivera, dans la
plupart des applications, que, si l’on donne à
et à
les valeurs
constantes qui correspondent à une solution périodique,
restera
holomorphe quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux
Prenons, par exemple, le problème du no 9 et supposons que
définissent la forme de l’ellipse décrite par la
masse infiniment petite, pendant que
définissent la position du périhélie de cette ellipse et celle de la masse sur son orbite.
Pour que
cessât d’être holomorphe, il faudrait que cette
masse infiniment petite rencontrât une des deux autres masses ;