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CHAPITRE VII.
et alors nous trouverons les équations
(14 bis)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\theta _{2n-1}}{dt}}&+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{2n-1}}{dw_{k}}}-{\sqrt {\mu }}\theta _{2n}={\sqrt {\mu }}\Theta _{2n-1},\\{\frac {d\theta _{2n}}{dt}}&+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{2n}}{dw_{k}}}={\sqrt {\mu }}\Theta _{2n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb64f161f98d1d209644c14ff1b69b3224e9717)
Les fonctions
sont définies par les
équations du premier degré
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}'&=\sum _{k=1}^{k=2n}{\frac {\mathrm {S} _{ik}}{\sqrt {\mu }}}\Theta _{k},\\[1.5ex]{\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}'&={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{ik}\Theta _{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d21b85a19bf169e4736ee5903f3458744070da3)
Le déterminant de ces
équations, c’est-à-dire le déterminant
formé avec les
et les
ne s’annule pas pour
On le démontrerait comme dans le numéro précédent ; la seconde
démonstration en particulier peut être appliquée sans changement
au cas qui nous occupe.
Nous en conclurons que les fonctions
sont périodiques par
rapport à
et développables suivant les puissances croissantes et
positives des
et de
Cela posé, il est facile de démontrer la proposition du no 108.
Supposons en effet que
des exposants caractéristiques
aient leur partie réelle positive et cherchons à satisfaire
aux équations (14 bis) en remplaçant les
par des séries développées
suivant les puissances de
Soit donc
![{\displaystyle \theta _{i}={\textstyle \sum }[i,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma ]\,e^{\gamma {\sqrt {-1}}}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{p}^{\beta _{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9112d1fa7b39c16cbc3210d00f02208a1c6f19c)
sont des entiers positifs,
un entier positif ou
négatif et les coefficients
que j’écrirai aussi
pour abréger
sont des constantes qu’il s’agit de déterminer.
Si nous substituons ces valeurs des
dans les
il viendra
![{\displaystyle \Theta _{i}={\textstyle \sum }(i,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma )\,e^{\gamma {\sqrt {-1}}}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{p}^{\beta _{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66780886871a38883e0b37cadbe85adec0772b97)