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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

les équations pourront s’écrire comme dans le numéro précédent

$\left.{\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\zeta _{i}}{dw_{k}}}&={\sqrt {\mu }}\mathrm {X} _{i}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {X} _{i}'\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}&={\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}'\\\end{aligned}}\right\}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Les fonctions $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {X} _{i}',\,\mathrm {Z} _{i}$ et $\mathrm {Z} _{i}'$ jouissent des mêmes propriétés que dans le numéro précédent, c’est-à-dire qu’elles sont développables suivant les puissances des $\eta _{i},$ des $\zeta _{i}$ et de ${\sqrt {\mu }},$ et périodiques par rapport à $t.$ De plus, $\mathrm {X_{i}}$ et $\mathrm {Z} _{i}$ sont linéaires par rapport aux $\eta _{i}$ et aux $\zeta _{i}$ et $\mathrm {X_{i}} '$ et $\mathrm {Z} _{i}'$ ne contiennent que des termes du second degré au moins par rapport à ces variables.

Considérons ensuite les équations

${\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}&={\sqrt {\mu }}\,\mathrm {X} _{i},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&={\sqrt {\mu }}\,\mathrm {Z} _{i}\,;\end{aligned}}$

elles admettront $2n-2$ solutions linéairement indépendantes correspondant aux $2n-2$ exposants caractéristiques qui ne sont pas nuls ; ces solutions pourront s’écrire

${\sqrt {\mu }}\zeta _{i}=\xi _{i}=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{ik},\quad \eta _{i}=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{ik},\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,2n-2)\,;$

elles admettront en outre deux solutions dégénérescentes définies au n^o 80 et que j’écrirai

${\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\mathrm {S} _{i,2n-1},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i,2n-1}\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\mathrm {S} _{i,2n}+{\sqrt {\mu }}\,t\,\mathrm {S} _{i,2n-1},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i,2n}+{\sqrt {\mu }}\,t\,\mathrm {T} _{i,2n-1}.\end{aligned}}$

Les fonctions $\mathrm {S} _{i,k}$ et $\mathrm {T} _{i,k}\;(k=1,\,2,\,\ldots ,\,2n)$ sont périodiques en $t.$ De plus $\mathrm {S} _{i,k}$ est divisible par ${\sqrt {\mu }}.$

Nous pouvons alors poser

${\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {S} _{ik}\theta _{k},&\eta _{i}&=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {T} _{ik}\theta _{k},\end{aligned}}$