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CHAPITRE VII.

les petites valeurs de $\mu ,$ de la même manière que la série de Stirling représente asymptotiquement la fonction eulérienne pour les grandes valeurs de $x.$

Je me propose d’établir, dans les numéros suivants, que les séries divergentes que nous avons appris à former dans le n^o 108 sont tout à fait analogues à la série (10).

Considérons en effet l’une des séries

(10′)

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{k}^{\beta _{k}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}=\mathrm {F} \left({\sqrt {\mu }},\,w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{k},\,t\right)\,;$

les raisonnements du n^o 105 ont montré que ces séries sont uniformément convergentes pourvu que les $w$ restent inférieurs en valeur absolue à certaines limites et que ${\sqrt {\mu }}$ reste réel.

Si l’on développe ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ les séries (10′) sont divergentes, ainsi que nous l’avons dit. Supposons que l’on néglige dans le développement les termes où l’exposant de ${\sqrt {\mu }}$ est supérieur à $p,$ on obtiendra une certaine fonction

$\Phi _{p}\left({\sqrt {\mu }},\,w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{k},\,t\right)$

qui sera développable suivant les puissances des $w,$ de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}$ et qui sera un polynôme de degré $p$ en ${\sqrt {\mu }}.$

On verra plus loin que l’expression

${\frac {\mathrm {F} -\Phi _{p}}{\sqrt {\mu ^{p}}}}$

tend vers 0 quand $p$ tend vers 0 par valeurs positives, et cela quelque grand que soit $p.$

En effet, si l’on désigne par $\mathrm {H} _{p}$ l’ensemble des termes du développement de ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},$ où l’exposant de ${\sqrt {\mu }}$ est au plus égal à $p,$ on a

${\frac {\mathrm {F} -\Phi _{p}}{\sqrt {\mu ^{p}}}}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {1}{\sqrt {\mu ^{p}}}}\left({\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}-\mathrm {H} _{p}\right)w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{k}^{\beta _{k}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}},$

et je montrerai que la série du second membre est uniformément convergente et que tous les termes tendent vers 0 quand $p$ tend vers 0.