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CHAPITRE VII.

autres sont deux à deux égaux et de signe contraire. Nous ne conserverons que $n-1$ au plus de ces exposants, en convenant de regarder comme nuls les coefficients $\mathrm {A} _{i}$ et les variables $w_{i}$ qui correspondent aux $n+1$ exposants rejetés. Nous ne conserverons que ceux de ces exposants dont la partie réelle est positive.

Cela posé, les équations (1) deviennent

(2)

${\frac {dx_{i}}{dt}}+\Sigma _{k}\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}=\;\;\;{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},$

(3)

${\frac {dy_{i}}{dt}}+\Sigma _{k}\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},$

Cherchons, en partant de ces équations, à développer les $x_{i}$ et les $y_{i}-n_{i}t$ suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }}$ et des $w$ de telle façon que les coefficients soient des fonctions périodiques de $t.$

Nous pouvons écrire

$\alpha _{k}=\alpha _{k}^{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{k}^{2}\mu +\ldots =\Sigma \,\alpha _{k}^{p}\,\mu ^{\frac {p}{2}},$

car nous avons vu au n^o 74 comment on peut développer les exposants caractéristiques suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Écrivons, d’autre part,

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+x_{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots ={\textstyle \sum }x_{i}^{p}\mu ^{\frac {p}{2}},\\y_{i}-n_{i}t&=y_{i}^{0}\,+y_{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots ={\textstyle \sum }y_{i}^{p}\mu ^{\frac {p}{2}},\\\end{aligned}}$

les $x_{i}^{p}$ et les $y_{i}^{p}$ étant des fonctions de $t$ et des $w,$ périodiques par rapport à $t$ et développables suivant les puissances des $w.$

Si, dans les équations (2) et (3), nous substituons ces valeurs à la place de $\alpha _{k},$ des $x_{i}$ et des $y_{i},$ les deux membres de ces équations seront développés suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Égalons dans les deux membres des équations (2) les coefficients de $\mu ^{\frac {p+1}{2}},$ et dans les deux membres des équations (3) les coefficients de $\mu ^{\frac {p}{2}},$ nous obtiendrons les équations suivantes

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}^{p+1}}{dt}}+{\textstyle \sum }_{k}\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}\;\;&=\mathrm {Z} _{i}^{p}+{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}}y_{k}^{p-1},\\{\frac {dy_{i}^{p}}{dt}}\;\;+{\textstyle \sum }_{k}\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}}}&=\mathrm {T} _{i}^{p}-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{p}\,,\\\end{aligned}}\right.$