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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

106.Supposons que dans les équations (1) les $\mathrm {X}$ dépendent d’un paramètre $\mu$ et que les fonctions $\mathrm {X}$ soient développables suivant les puissances de ce paramètre.

Imaginons que, pour $\mu =0,$ les exposants caractéristiques $\alpha$ soient tous distincts de telle façon que ces exposants, étant définis par une équation $\mathrm {G} (\alpha ,\,\mu )=0$ [analogue à celle du n^o 74, mais telle que l’équation $\mathrm {G} (\alpha ,\,0)=0$ ait toutes ses racines distinctes] soient eux-mêmes développables suivant les puissances de $\mu$ en vertu des n^o 30 et 31.

Supposons enfin que l’on ait, ainsi que nous venons de le dire, annulé toutes les constantes $\mathrm {A}$ qui correspondent à un $\alpha$ dont la partie réelle est négative ou nulle.

Les séries (4′) qui définissent les quantités $\eta _{i}$ dépendent alors de $\mu .$ Je me propose d’établir que ces séries peuvent être développées, non seulement suivant les puissances des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},$ mais encore suivant les puissances de $\mu .$

Considérons l’inverse de l’un des diviseurs (5)

$\left(\gamma \,{\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}\right)^{-1}.$

Je dis que cette expression peut être développée suivant les puissances de $\mu .$

Soient $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{k}$ les $k$ exposants caractéristiques dont la partie réelle est positive pour $\mu =0$ et pour les petites valeurs de $\mu$ et que nous sommes convenus de conserver. Chacun d’eux est développable suivant les puissances de $\mu .$ Soit $\alpha _{i}^{0}$ la valeur de $\alpha _{i}$ pour $\mu =0\,;$ nous pourrons prendre $\mu _{0}$ assez petit pour que $\alpha _{i}$ diffère aussi peu que nous voudrons de $\alpha _{i}^{0}$ quand $|\mu |<\mu _{0}.$ Soit alors $h$ une quantité positive plus petite que la plus petite des parties réelles des $k$ quantités $\alpha _{1}^{0},$ $\alpha _{2}^{0},$ $\ldots ,$ $\alpha _{k}^{0}\,;$ nous pourrons prendre $\mu _{0}$ assez petit pour que, quand $|\mu |<\mu _{0},$ les $k$ exposants $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots$ $\alpha _{k}$ aient leur partie réelle plus grande que $h.$

La partie réelle de $\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}$ sera alors plus grande que $h$ (si $\beta _{i}>0$), de sorte qu’on aura

(6)

$|\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}|>h$

Ainsi, si $|\mu |<\mu _{0},$ la fonction

$\left(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}\right)^{-1}$