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CHAPITRE VI.
Nous avons d’abord ceux qui nous sont donnés par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da603d4db7871305bae229aecada111e7a2b7ec5)
![{\displaystyle z=x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}\,y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb317979b37cbfc13b0e591956951937e1fb22d6)
je les appelle
et ![{\displaystyle z_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4403bb7e909e14aaa1351a339b449f5b317b888)
On voit toute de suite que
et
ne dépendent que des
deux excentricités, c’est-à-dire de
et de
que
![{\displaystyle z_{1}z_{3}=z_{2}z_{4}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a8cf0368ff11731246c6652da2e4f6c9aeb233)
Le rapport
ne dépendrait que de nos quatre variables
or ce rapport est égal à
Donc
et de même
ne dépendraient que des quatre variables ![{\displaystyle \beta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb2e35288c34cd111b23ed569530026976d6a62)
Il en serait donc ainsi de
et de
qui sont manifestement fonctions de
et de
Passons aux points singuliers de la seconde sorte, qui nous sont
fournis par les équations
![{\displaystyle \Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2aca0dd59d30c901aded2237062a85cabd96ce)
Quand, dans ces équations, on prend comme variables
et
elles
deviennent algébriques. L’équation
définit alors, comme nous
l’avons vu, une courbe du sixième degré qui, pour une inclinaison
nulle, se décompose en deux courbes (3) et (4) du troisième degré ;
de l’équation
combinée avec
on peut, si l’inclinaison
est nulle, en déduire deux autres qui sont les équations (5) et (6) du no 96.
Soit
une des racines des équations
(1)
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les rapports
et, par conséquent,
ne dépendraient que des
quatre variables ![{\displaystyle \beta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb2e35288c34cd111b23ed569530026976d6a62)
Si donc
sont trois racines des équations (1),