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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

nous avons des points singuliers qui nous seront donnés par les deux équations

$\mathrm {H} =0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=0$

ou encore par les deux équations

$\mathrm {H} _{0}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}=0.$

Nous avons

$\mathrm {H} =\cos u-\sin \varphi +i\cos \varphi \sin u-\beta (\cos u'-\sin \varphi '+i\cos \varphi '\sin u').$

L’équation ${\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=0$ peut donc être remplacée par la suivante :

${\frac {c(-\sin u+i\cos \varphi \sin u)}{1-\sin \varphi \cos u}}+{\frac {a\beta (-\sin u'+i\cos \varphi '\sin u')}{1-\sin \varphi '\cos u'}}=0$

ou

(5)

$\quad {\frac {c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{\frac {a\beta [\cos \varphi '(y^{2}+1)+(y^{2}-1)]}{2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)}}=0.$

De même l’équation ${\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}=0$ peut être remplacée par la suivante

(6)

$\;{\frac {c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{\frac {a\beta _{0}[-\cos \varphi '(y^{2}+1)+(y^{2}-1)]}{2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)}}=0.$

Les points singuliers de deuxième espèce sont donc donnés par les équations (3) et (5) ou bien par les équations (4) et (6) ; à l’inverse de ceux de première espèce, ils dépendent donc du rapport des entiers $a$ et $c.$

Tous les points singuliers de $\Phi (z)$ sont donc donnés par des équations algébriques.

Ces équations algébriques se simplifient quand on suppose $\varphi '=0.$ Il est permis alors de supposer $\varpi '=\varpi$ et par conséquent $\beta _{0}=\beta .$

L’équation (1) ne change pas, l’équation (2) se réduit à $y=0$ et il n’y a plus à en tenir compte, les équations (3) et (4) deviennent

(3)

$\;(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)\;=2\beta xy,$

(4)

$y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]=2\beta x.\;\;\;$