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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

il en résulte que le déterminant est divisible par $\varepsilon ^{4}$ et, par conséquent, que l’équation $\mathrm {G} _{1}=0$ a quatre racines nulles.

Dans quel cas peut-elle en avoir plus de quatre ?

Pour nous en rendre compte, divisons les lignes 1 et $2n$ et les colonnes $n$ et $n+1$ par $\varepsilon ,$ et faisons ensuite $\varepsilon =0.$ Dans quel cas le déterminant ainsi obtenu et qui sera égal à

$\lim {\frac {\mathrm {G} _{1}}{\varepsilon ^{4}}}\quad \mathrm {pour} \quad \varepsilon =0$

sera-t-il nul ?

Nous pouvons également diviser le déterminant $\mathrm {G} _{1}$ par $\varepsilon ^{4}\mathrm {T} ^{4},$ en supprimant les lignes 1, $n,$ $n+1$ et $2n$ et les colonnes de même numéro. Si l’on fait ensuite $\varepsilon =0,$ on voit que tous les éléments sont nuls, sauf ceux qui appartiennent à l’une des $n-2$ dernières colonnes subsistantes, et à l’une des $n-2$ premières lignes, ou inversement à l’une des $n-2$ premières colonnes et à une des $n-2$ dernières lignes.

Ainsi le déterminant est égal, à une puissance de $\mathrm {T}$ près, au produit de deux hessiens, à savoir :

1^o Le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport à $x_{2},\,x_{3},\,\ldots ,\,x_{n-1}\,;$

2^o Et le hessien de $\mathrm {R}$ par rapport à $\varpi _{2},\,\varpi _{3},\,\ldots ,\,\varpi _{n-1}.$

Si aucun de ces deux hessiens n’est nul, l’équation $\mathrm {G} _{1}=0$ n’aura pas plus de quatre racines nulles et il n’y aura certainement pas plus de quatre exposants caractéristiques qui soient nuls.

Que devient cette condition quand on suppose que les variables sont quelconques et que les conditions (1) et (2) du numéro précédent ne sont pas remplies ?

Dans ce cas, on fera subir au déterminant la même transformation qu’à la fin du n^o 74 ; on verra alors, comme à la fin de ce numéro, qu’après cette transformation, les éléments de la première ligne deviennent égaux à

$-n_{1}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad -n_{2}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad \ldots ,\quad -n_{n}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad 0,\quad 0,\quad \ldots ,\quad 0$

et ceux de la $(n+1)^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ colonne à

$0,\quad 0,\quad \ldots ,\quad 0,\quad -n_{1}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad -n_{2}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad \ldots ,\quad -n_{n}^{0}\varepsilon \mathrm {T} .$

Seulement il importe d’observer ici que $n_{n}^{0}$ est nul, puisque

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{n}}}=0.$