Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/205

193

EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Nous avons vu au n^o 56 que si $\xi _{i},\,\eta _{i}$ et $\xi '_{i},\,\eta '_{i}$ sont deux solutions particulières quelconques des équations aux variations, on a

$\sum _{i=1}^{n}\left(\xi _{i}\eta '_{i}-\xi '_{i}\eta _{i}\right)=\mathrm {const.}$

Je dis qu’il en résulte que les exposants caractéristiques sont deux à deux égaux et de signe contraire.

Soient en effet $\xi _{i}^{0}$ et $\eta _{i}^{0}$ les valeurs initiales de $\xi _{i}$ et de $\eta _{i}$ pour $t=0$ dans une des solutions des équations aux variations ; soient $\xi _{i}^{1}$ et $\eta _{i}^{1}$ les valeurs correspondantes de $\xi _{i}$ et de $\eta _{i}$ pour $t=2\pi .$ Il est clair que les $\xi _{i}^{1}$ et les $\eta _{i}^{1}$ seront des fonctions linéaires des $\xi _{i}^{0}$ et des $\eta _{i}^{0},$ de telle sorte que la substitution $\mathrm {T}$ qui change $\xi _{i}^{0}$ et $\eta _{i}^{0}$ en $\xi _{i}^{1}$ et $\eta _{i}^{1}$ sera une substitution linéaire.

Soit

$\left|{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1,2n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2,2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{2n,1}&a_{2n,2}&\ldots &a_{2n,2n}\end{array}}\right|$

le tableau des coefficients de cette substitution linéaire.

Fermons l’équation en $\lambda$

$\left|{\begin{array}{cccc}a_{11}-\lambda &a_{12}&\ldots &a_{1,2n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\ldots &a_{2,2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{2n,1}&a_{2n,2}&\ldots &a_{2n,2n}-\lambda \end{array}}\right|=0.$

Les $2n$ racines de cette équation seront ce qu’on appelle les $2n$ multiplicateurs de la substitution linéaire $\mathrm {T.}$ Mais cette substitution linéaire $\mathrm {T}$ ne peut pas être quelconque : il faut qu’elle n’altère pas la forme bilinéaire

${\textstyle \sum _{i}}\left(\xi _{i}\eta '_{i}-\xi '_{i}\eta _{i}\right).$

Pour cela, l’équation en $\lambda$ doit être réciproque. En effet, la théorie des substitutions linéaires nous apprend que, si une substitution linéaire n’altère pas une forme quadratique, son équation en $\mathrm {S}$ doit être réciproque. Si donc on pose

$\lambda =e^{2\alpha \pi },$