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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
nous avons donc
équations linéaires par rapport
aux
quantités
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71732772ed8d363a40f80d00492979f19e2dcc6)
Alors de deux choses l’une : ou bien le déterminant de ces équations
(2), c’est-à-dire le déterminant fonctionnel des
par rapport
aux
sera nul, et alors, d’après ce que nous avons vu au no 62, l’un
des exposants caractéristiques sera nul.
Ou bien on aura à la fois
(3)
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Ces équations devront être satisfaites pour
![{\displaystyle x_{1}=\varphi _{1}(2\pi ),\quad x_{2}=\varphi _{2}(2\pi ),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ac3d2c1747a39835f483deaae5cb84de456168)
ou, ce qui revient au même, pour
![{\displaystyle x_{1}=\varphi _{1}(0),\quad x_{2}=\varphi _{2}(0),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d42b8160706fce3e7bebd69ed167a9d91519556)
Mais l’origine du temps est restée entièrement arbitraire ; nous
devons donc conclure que les équations (3) seront satisfaites, quel
que soit
pour
![{\displaystyle x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71092c48b7332eed136f6577e7879f2caf121b2)
On peut d’ailleurs s’en rendre compte de la manière suivante :
Supposons que les équations (3) soient satisfaites pour un système
de valeurs de
je dis qu’elles le seront encore pour un système infiniment voisin
pourvu que l’on ait, conformément aux équations différentielles,
![{\displaystyle {\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367a2c797d438bacae1c1d4a2fd345c380c1447c)
En d’autres termes, je dis que les équations (3) entraînent les suivantes,
![{\displaystyle {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{1}}}\mathrm {X} _{1}+{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{2}}}\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{n}}}\mathrm {X} _{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a3c4eceab2f3007d7326924e03bf1ce7cddf24)
![{\displaystyle (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e96aca4456b78b896a875a828ea8c8b5358a185)