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CHAPITRE IV.

$h$ étant une constante quelconque, on aura encore une solution des équations (1) ; alors, d’après le n^o 51, on aura une solution des équations aux variations, en faisant

(4)

$\xi _{i}={\frac {d\varphi _{i}}{dh}}={\frac {d\varphi _{i}}{dt}}\cdot$

Mais, $\varphi _{i}$ étant une fonction périodique de $t,$ il en sera de même de sa dérivée ${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}.$

La solution (4) est bien de la forme (3) (c’est-à-dire égale à une exponentielle multipliée par une fonction périodique de $t$). Seulement ici l’exponentielle se réduit à l’unité et l’exposant caractéristique est égal à 0. C.Q.F.D.

D’ailleurs nous avons vu déjà au Chapitre précédent que, dans ce cas, le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ est nul.

Nouvel énoncé du théorème des n^os 37 et 38.

62.Nous avons, dans le n^o 37, envisagé d’abord le cas où les équations (1) dépendent du temps $t$ et d’un paramètre $\mu ,$ et admettent pour $\mu =0$ une solution périodique et une seule. Nous avons vu que, si le déterminant fonctionnel

$\Delta ={\frac {\partial (\psi _{1},\psi _{2},\ldots ,\psi _{n})}{\partial (\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n})}}\lessgtr 0,$

les équations admettront encore une solution périodique pour les petites valeurs de $\mu .$

Ce déterminant peut s’écrire

$\Delta =\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}\end{array}}\right|.$