Laplace a démontré que les orbites de trois des satellites de Jupiter diffèrent très peu de celles qu’ils suivraient dans une pareille solution périodique, et les positions de ces trois petits corps oscillent constamment autour des positions qu’ils auraient dans cette solution périodique.
Solutions périodiques dans le voisinage d’une position d’équilibre.
51.Les solutions périodiques dont il a été question jusqu’ici ne sont pas les seules dont il soit possible de démontrer l’existence. Ainsi le problème des trois Corps comporte des solutions périodiques de la nature suivante : les deux petits corps décrivent autour du grand des orbites très peu différentes de deux ellipses képlériennes et à un certain moment, ces deux petits corps passent très près l’un de l’autre et exercent l’un sur l’autre des perturbations considérables ; puis ils s’éloignent de nouveau et décrivent alors des orbites qui se rapprochent beaucoup de deux nouvelles ellipses képlériennes et très différentes de et Les deux petits corps s’écartent très peu des ellipses et jusqu’à ce qu’ils se trouvent encore une fois très près l’un de l’autre. Ainsi le mouvement est presque képlérien, sauf à certains moments où la distance des deux corps devient très petite et où il se produit des perturbations très considérables, mais de très courte durée. Il peut arriver que ces sortes de collisions se reproduisent périodiquement et de telle sorte qu’au bout d’un certain temps les deux corps se retrouvent sur les ellipses et La solution est alors périodique. Je reviendrai plus tard sur cette sorte de solutions périodiques qui diffèrent complètement de celles que nous avons étudiées dans ce Chapitre.
Je réserverai également à un autre volume les solutions périodiques que j’ai appelées du second genre et que j’ai définies dans mon Mémoire du t. xiii des Acta mathematica, mais dont l’étude ne peut précéder celle des invariants intégraux.
Il est toutefois une catégorie de solutions périodiques dont la théorie se rattache à celle des solutions du second genre, mais dont je veux cependant dire quelques mots ici, quitte à y revenir avec plus de détails en temps et lieu.
