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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

converge, ou, ce qui revient au même, que les équations (3) peuvent être résolues par rapport à $\eta '$ et à $z.$

Or le déterminant fonctionnel relatif à ces équations (3) peut s’écrire

${\frac {\partial \left(\eta '-\mu f',\,z-\lambda f'_{1}\eta '-\lambda \theta '\right)}{\partial \left(\eta ',\,z\right)}}$

et sa valeur pour $\eta '=z=\mu =0$ est égale à 1. Il n’est donc pas nul et, par conséquent, d’après le théorème du n^o 30, les équations (3) peuvent être résolues.

Donc la série (4) converge. C.Q.F.D.

Les équations traitées dans ce numéro sont un cas particulier de celles qui ont fait l’objet du numéro précédent. Une démonstration directe tout à fait analogue pourrait être donnée dans le cas général. Nous y reviendrons plus loin.

Examen d’un important cas d’exception.

46.D’après ce que nous venons de voir, les principes du n^o 42 se trouvent en défaut quand le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport aux $x$ est nul.

Examinons donc le cas où ce hessien est nul, et plus particulièrement le cas où $\mathrm {F} _{0}$ est indépendant de quelques-unes des variables $x.$

Je supposerai, pour fixer les idées, qu’il y a quatre degrés de liberté, que deux des variables $x_{1}$ et $x_{2}$ entrent dans $\mathrm {F} _{0},$ que les deux autres $x_{3}$ et $x_{4}$ n’y entrent pas, et enfin que le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport à $x_{1}$ et à $x_{2}$ n’est pas nul (le hessien par rapport à $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ et $x_{4}$ est nul puisque ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{3}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{4}}}=0$). Pour $\mu =0,$ la solution générale des équations différentielles s’écrit

(1)

$\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=x_{1}^{0},\quad x_{2}=x_{2}^{0},\quad x_{3}=x_{3}^{0},\quad x_{4}=x_{4}^{0},\quad y_{1}=n_{1}^{0}t+\varpi _{1},\\[0.5ex]y_{2}=n_{2}^{0}t+\varpi _{2},\quad y_{3}=\varpi _{3},\quad y_{4}=\varpi _{4},\\[0.5ex]n_{1}^{0}=-{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}},\quad n_{2}^{0}=-{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}}},\quad n_{3}^{0}=n_{4}^{0}=0,\end{array}}\right.$

les $x_{i}^{0}$ et les $\varpi _{i}$ étant des constantes.