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CHAPITRE III.
puis développons
suivant les puissances croissantes
de
ainsi qu’il a été dit au no 22. Il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} =\Phi _{0}+\mu \quad \Phi _{1}+\mu ^{2}\Phi _{2}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8453e2c806864a05588e4492f446d12f29677701)
et l’on aura
![{\displaystyle \Phi _{0}=\mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37de92e510d3e8436f5bc76f0ada9cd736105318)
Il viendra ensuite (si l’on se souvient que
et que
)
(3)
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Plus généralement, on aura
![{\displaystyle \Phi _{k}=\Theta _{k}-n_{1}x_{1}^{k}=\Theta _{k}+x_{1}^{k}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}+x_{2}^{k}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}}}+x_{3}^{k}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{3}^{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a4cf9da87a9d19114470569f9304fe2142b0af)
et
![{\displaystyle \Theta _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb56690d4faf8feb2f46b9a23b816db68e082717)
dépendra seulement
![{\displaystyle {\begin{array}{llllll}\mathrm {des} \;x_{i}^{0},&\mathrm {des} \;x_{i}^{1},&\dots &\mathrm {et} &\mathrm {des} \;x_{i}^{k-1},\\\mathrm {des} \;y_{i}^{0},&\mathrm {des} \;y_{i}^{1},&\dots &\mathrm {et} &\mathrm {des} \;y_{i}^{k-1}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf6d3534ac5c8a16acd25543603a3588856d2ef)
Par rapport aux
elle est périodique de période
Cela posé, les équations différentielles peuvent s’écrire, en égalant
les puissances de même nom de
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}^{0}}{dt}}&={\frac {dx_{2}^{0}}{dt}}={\frac {dx_{3}^{0}}{dt}}=0,&{\frac {dy_{1}^{0}}{dt}}&=n_{1},&{\frac {dy_{2}^{0}}{dt}}&=n_{2},&{\frac {dy_{3}^{0}}{dt}}&=n_{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe3ba32f52bffcb78959023ae602447a48afd31)
On trouve ensuite
(4)
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et
(5)
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et plus généralement
(4′)
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et
(5′)
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