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CHAPITRE II.

on pourra, dans l’inégalité (1), à la place de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n},$ substituer dans le premier membre $f_{1},$ $f_{2},$ $\dots ,$ $f_{n}$ et dans le second membre $\theta _{1},$ $\theta _{2},$ $\dots ,$ $\theta _{n}.$ On pourra donc écrire

${\begin{array}{c}\varphi [f_{1}(x,y),\,f_{2}(x,y),\dots ,f_{n}(x,y)]\ll \psi [\theta _{1}(x,y),\,\theta _{2}(x,y),\dots ,\theta _{n}(x,y)]\\(\mathrm {arg.} \;x,y).\\\end{array}}$

6^o Il est permis de différentier l’inégalité

(1)

$\varphi (x,y)\ll \psi (x,y)\quad (\mathrm {arg.} \;x,y).$

par rapport à l’un des deux arguments $x$ et $y.$

7^o Il est permis d’intégrer une inégalité ; mais cela peut s’entendre de deux manières ; on peut d’abord intégrer l’inégalité (1) par rapport à l’un des deux arguments $x$ et $y,$ en prenant 0 comme limite inférieure d’intégration.

On trouve alors

$\int _{0}^{x}\varphi (x,y)\,dx\ll \int _{0}^{x}\psi (x,y)\,dx.$

Il va sans dire que, dans le calcul des intégrales, $y$ doit momentanément être regardée comme une constante.

8^o Mais il peut arriver également que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ dépendent non seulement des deux arguments $x$ et $y,$ mais d’une autre variable $t,$ sans qu’on la regarde comme développée suivant les puissances de cette variable.

Supposons que l’inégalité (1) soit vraie pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre $t_{0}$ et $t_{1}\,;$ on pourra intégrer cette inégalité par rapport à $t,$ en regardant $x$ et $y$ comme des constantes, et écrire

$\int \varphi (x,y,t)\,dt\ll \int \psi (x,y,t)\,dt\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),$

pourvu, bien entendu, que les limites d’intégration soient comprises entre $t_{0}$ et $t_{1}.$

22.Considérons une fonction

$\varphi (x,y),$

développée suivant les puissances de $x$ et de $y.$ Il arrivera souvent que $x$ et $y$ dépendront d’un certain paramètre $\mu$ et qu’on pourra