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CHAPITRE III.
d’une façon plus générale les solutions périodiques des équations
de la Dynamique.
Reprenons les équations du no 13,
(1)
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et les hypothèses de ce numéro. La fonction
est développée suivant
les puissances d’un paramètre très petit
de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\dots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b577f4d2158e64eb3bc6d720ddd31c99d43b6e99)
est fonction périodique des
est fonction
des
seulement. Je supposerai, pour fixer les idées, qu’il n’y a que 3 degrés de
liberté. Il est aisé d’intégrer ces équations quand
et que
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e3360ae00cc0889300d4ead10f17c95e4fc97d)
En effet,
ne dépendant pas des
ces équations se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&=0,&{\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=n_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b4cd3e7e0e3da76928507b657592eee81d1f40)
Les
et par conséquent les
sont donc des constantes.
Ainsi, les équations (1) admettent pour solution, quand
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=a_{1},&x_{2}&=a_{2},&x_{3}&=a_{3},\\y_{1}&=n_{1}t+\varpi _{1},&y_{2}&=n_{2}t+\varpi _{2},&y_{3}&=n_{3}t+\varpi _{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993462f3d02fa6983db8a07c3ec33b19627b3e47)
les
et les
étant des constantes d’intégration, et les
des
fonctions des ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Il est clair que, si
![{\displaystyle n_{1}\mathrm {T} ,\quad n_{2}\mathrm {T} ,\quad n_{3}\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67dad6aacd983d2b8981f8173cb7dd9d1ec347d)
sont multiples de
cette solution est périodique de période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Supposons maintenant que
cesse d’être nul, et imaginons
que, dans une certaine solution, les valeurs des
et des
pour
soient respectivement
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}x_{1}&=a_{1}&{}+{}&\beta _{1},&x_{2}&=a_{2}&{}+{}&\beta _{2},&x_{3}&=a_{3}&{}+{}&\beta _{3},\\y_{1}&=\varpi _{1}&{}+{}&\beta _{4},\quad &y_{2}&=\varpi _{2}&{}+{}&\beta _{5},\quad &y_{3}&=\varpi _{3}&{}+{}&\beta _{6}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b738e134c43601cb1997c77bba30883151905d2)
Supposons que, dans cette même solution, les valeurs des
et