Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Analise transcendante, article 4

Développement remarquable des racines et des logarithmes ; par M. Bouvier.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 16, 1826 (p. 294-295).

ANALISE TRANSCENDANTE.

Développement remarquable des racines et des logarithmes ;

Par M. L. C. Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit posé

$z={\frac {x^{n}}{x^{n}+1}},\quad$d’où$\quad x={\sqrt[{n}]{\frac {z}{1-z}}},\quad$et$\quad {\sqrt[{m}]{x}}={\sqrt[{mn}]{\frac {z}{1-z}}}\,;$

c’est-à-dire,

${\sqrt[{m}]{x}}={\sqrt[{mn}]{z}}.(1-z)^{-{\frac {1}{mn}}}\qquad$(1)

En remarquant que $z=1-(1-z),$ on aura

${\sqrt[{mn}]{z}}=1-{\frac {1}{mn}}(1-z)-{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn-1}{2mn}}(1-z)^{2}-{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn-1}{2mn}}.{\frac {2mn-1}{3mn}}(1-z)^{3}-\ldots$

On a d’ailleurs

$(1-z)^{-{\frac {1}{mn}}}=1+{\frac {1}{mn}}z+{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn+1}{2mn}}z^{2}+{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn+1}{2mn}}.{\frac {2mn+1}{3mn}}z^{3}+\ldots$

En substituant donc dans (1), et remettant ensuite pour $z$ sa valeur en $x,$ il viendra, quelque soit $n,$

${\sqrt[{m}]{x}}=\left\{{\begin{aligned}&\left\{1-{\frac {1}{mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)-{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn-1}{2mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)^{2}\right.\\\\&\qquad \qquad \left.-{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn-1}{2mn}}.{\frac {2mn-1}{3mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)^{3}-\ldots \right\}\\\\\times &\left\{1+{\frac {1}{mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)+{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn+1}{2mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)^{2}\right.\\\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn+1}{2mn}}.{\frac {2mn+1}{3mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)^{3}+\ldots \right\}\\\\\end{aligned}}\right\}.$

Si l’on prend pour $n$ un nombre pair, les deux séries dont le produit compose le développement de ${\sqrt[{m}]{x}}$ seront constamment convergentes, quelque valeur entière ou fractionnaire, positive ou négative qu’on donne à $x.$

On a aussi.

$\operatorname {Log} .x={\frac {1}{n}}\left\{\operatorname {Log} .z-\operatorname {Log} .(1-z)\right\}\,;\qquad$(2)

mais on sait que

$\operatorname {Log} .z=-(1-z)-{\frac {1}{2}}(1-z)^{2}-{\frac {1}{3}}(1-z)^{3}-{\frac {1}{4}}(1-z)^{4}-\ldots ,$

$-\operatorname {Log} .(1-z)=z+{\frac {1}{2}}z^{2}\qquad +{\frac {1}{3}}z^{3}\qquad +{\frac {1}{4}}z^{4}+\ldots \,;$

substituant dans (2), et remettant ensuite pour $z$ sa valeur en $x,$ on aura, quel que soit $n,$

$\operatorname {Log} .x={\frac {1}{n}}\left\{{\frac {x^{n}-1}{x^{n}+1}}+{\frac {1}{2}}.{\frac {x^{2n}-1}{(x^{n}+1)^{2}}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {x^{3n}-1}{(x^{n}+1)^{3}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {x^{4n}-1}{(x^{n}+1)^{4}}}+\ldots \right\}\,;$

série qui, lorsqu’on prendra pour $n$ un nombre pair, aura le même avantage que le développement ci-dessus.

Si, en particulier, on y fait $n=2,$ on retombera sur le développement déjà obtenu (tom. XIV, pag. 279).