Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie élémentaire, article 18

Démonstration de deux théorèmes de géométrie desquels on peut déduire, comme cas particulier, le théorème de M. Hamett, mentionné aux pages 334 et 374 du précédent volume ; par MM. Querret et Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 84-88).

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration de deux théorèmes de géométrie
desquels on peut déduire, comme cas particulier,
le théorème de M. Hamett, mentionné aux pages 334 et 374
du précédent volume ;

MM. Querret et Gergonne.

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Théorème de M. Querret.

Si aux deux extrémités $\mathrm {A,B}$ de la base $\mathrm {AB}$ d’un triangle quelconque $\mathrm {ACB}$ (fig. 6), on élève respectivement à ses deux autres côtés $\mathrm {CA,CB,}$ vers son sommet, des perpendiculaires $\mathrm {AP}$, $\mathrm {BQ}$ qui leur soient proportionnelles, et qu’on mène ensuite les droites $\mathrm {AQ}$ et $\mathrm {BP} \,;$ ces deux droites se couperont sur la perpendiculaire $\mathrm {CC'}$ abaissée du sommet $\mathrm {C}$ du triangle sur la direction de sa base.

Démonstration. Soient faits

$\mathrm {{\frac {AC}{AP}}={\frac {BC}{BQ}}} =m,$

et soient abaissées, des points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ des perpendiculaires $\mathrm {PM}$ et $\mathrm {QN}$ sur la direction de $\mathrm {AB} .$ Les triangles rectangles $\mathrm {AMP,BNQ} ,$ respectivement semblables aux triangles rectangles $\mathrm {CC'A,CC'B}$ donneront

${\begin{array}{ll}\mathrm {PM} ={\frac {\mathrm {C'A} }{m}},&\mathrm {QN} ={\frac {\mathrm {C'B} }{m}}\,;\\\\\mathrm {AM} ={\frac {\mathrm {CC'} }{m}},&\mathrm {BN} ={\frac {\mathrm {CC'} }{m}}.\end{array}}$

Cela posé, soient respectivement $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ les points où la droite $\mathrm {CC'}$ est coupée par les droites $\mathrm {AQ}$ et $\mathrm {BP} \,;$ les triangles rectangles $\mathrm {ANQ,BMP} ,$ respectivement semblables aux triangles rectangles $\mathrm {AC'X,BC'Y} ,$ donneront

$\mathrm {AN:QN::AC':C'X={\frac {AC'\times QN}{AN}}} ={\frac {\mathrm {AC} '\times {\frac {\mathrm {BC} '}{m}}}{\mathrm {AB} +{\frac {\mathrm {CC} '}{m}}}}={\frac {\mathrm {AC'\times BC'} }{m.\mathrm {AB+CC'} }},$

$\mathrm {BM:PM::BC':C'Y={\frac {BC'\times PM}{BM}}} ={\frac {\mathrm {BC} '\times {\frac {\mathrm {AC} '}{m}}}{\mathrm {AB} +{\frac {\mathrm {CC} '}{m}}}}={\frac {\mathrm {AC'\times BC'} }{m.\mathrm {AB+CC'} }}\,;$

donc $\mathrm {C'X=C'Y} ,$ comme nous l’avions annoncé.

Si l’on suppose $m=1$ et le triangle rectangle en $\mathrm {C} ,$ on retombe sur le théorème de M. Hamett, démontré dans le précédent volume, par MM. Gergonne et B. D. C. ; mais ce qui précède fait voir que la propriété remarquée par M. Hamett n’est pas particulière au triangle rectangle, et qu’elle n’exige pas même que les figures construites sur deux de ses côtés soient des carrés, mais seulement des rectangles semblables et semblablement situés.

Si l’on suppose $m$ négatif, on trouve

$\mathrm {C'X=C'Y} =-{\frac {\mathrm {AC'\times BC'} }{m.\mathrm {AB-CC'} }}.$

Ce résultat répond au cas où les perpendiculaires, au lieu d’être menées du même côté de la base que le sommet $\mathrm {C} ,$ seraient menées du côté opposé ; alors les droites $\mathrm {AQ}$ et $\mathrm {BP}$ se couperaient sur le prolongement de $\mathrm {CC'}$ au-delà du point $\mathrm {C'} ,$ tant qu’on aurait $m.\mathrm {AB>CC'} \,;$ elles seraient parallèles, si l’on avait $m.\mathrm {AB=CC'} \,;$ enfin, leur point d’intersection repasserait de l’autre côté de $\mathrm {AB} ,$ si l’on avait $m.\mathrm {AB<CC'} .$

Si l’on suppose $m=0,$ ce qui revient à supposer $\mathrm {AP}$ et $\mathrm {BQ}$ d’une longueur infinie, et conséquemment $\mathrm {BP}$ et $\mathrm {AQ}$ parallèles à ces deux droites, et comme telles respectivement perpendiculaires à $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CB} ,$ la même propriété subsiste encore ; ce qui démontre que les perpendiculaires abaissées des sommets d’un triangle sur les directions des côtés opposés se coupent toutes trois au même point. On a alors

$\mathrm {C'X=CY={\frac {AC'\times BC'}{CC'}}} .$

résultat auquel, au surplus, il serait facile de parvenir directement dans ce cas.

Il est d’ailleurs facile de s’assurer que cette dernière propriété convient également au triangle sphérique ; et qu’en désignant par $\mathrm {I}$ le point d’intersection des trois arcs perpendiculaires (fig. 7) on a

$Tang.\mathrm {C'I} ={\frac {Sin.\mathrm {AC} '\times Sin.\mathrm {BC} '}{Cos.\mathrm {AB} \times Tang.\mathrm {CC} '}}\,;$

expression qui coïncide avec la précédente lorsque, le triangle sphérique $\mathrm {ACB}$ restant fini, le rayon de la sphère devient infini. Cette propriété du triangle sphérique peut être aussi bien simplement déduite de l’équation

$Sin.\mathrm {AC'} \times Sin.\mathrm {BA'} \times Sin.\mathrm {CB'} =Sin.\mathrm {AB'} \times Sin.\mathrm {CA'} \times Sin.\mathrm {BC'} ,$

qui a lieu entre les segmens formés sur les côtés, par les arcs de grands cercles menés d’un même point aux trois sommets (Géométrie de position, pag. 300, n.^o 248).

On voit, par ce qui précède, que la perpendiculaire $\mathrm {CC'}$ abaissée du sommet $\mathrm {C}$ d’un triangle (fig. 6) sur la direction de sa base est le lieu des intersections des droites $\mathrm {AQ}$ et $\mathrm {BP}$ qui interceptent sur les perpendiculaires $\mathrm {AP}$ et $\mathrm {BQ}$ aux deux autres côtés des parties respectivement proportionnelles aux longueurs de ces mêmes côtés^[1].

1. M. Querret, dans sa lettre d’envoi, observe avec raison, 1.^o qu’à la page 350 du précédent volume, nous avons omis d’observer que les quatre équations dont il s’agit en cet endroit avaient été déjà résolues, d’une manière à peu près pareille, par M. Cauchy, dans le chapitre V de son Cours d’analise, page 103 ; 2.^o que c’est par erreur que M. Bouvier a avancé à la page 147 du même volume, que personne avant lui n’avait découvert la loi de la série qui donne la longueur de la tangente en fonction de l’arc correspondant, attendu que ce sujet a été traité, avec tous les développemens désirables par M. Lacroix, dans son Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, 2.^e édition, tom. I, pages 254-257, n.^os 90-93. Nous nous empressons de réparer ces omissions et ces erreurs, que nous eussions mieux fait de signaler en leur lieu, en mentionnant ici les remarques de M. Querret.
   J. D. G.