Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Dynamique, article 1

Note sur la proportionnalité des forces aux vitesses ; par M. Querret.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 113-114).

DYNAMIQUE.

Note sur la proportionnalité des forces aux vitesses ;

Par M. Querret, ancien chef d’institution.

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Extrait d’une lettre au Rédacteur des Annales.



 

En examinant la démonstration, déjà extrêmement simple, donnée par M. le capitaine Fauquier, de la proportionnalité des forces aux vitesses^[1], il m’a semblé, Monsieur, qu’elle pouvait être simplifiée encore en la présentant comme il suit :

Soient $V$ la vitesse due au mouvement de la terre et $F$ la force, on aura, en général,

$V=\varphi (F)\,;$

ainsi, en décomposant la force $F$ en trois forces rectangulaires $a,b,c,$ et représentant respectivement par $x,y,z$ les composantes de la vitesse suivant leurs directions, on aura

$x=\varphi (a),\qquad y=\varphi (b),\qquad z=\varphi (c).$

Supposons présentement le mobile sollicité par une force $F',$ étrangère au mouvement de la terre, et dont les composantes, suivant les mêmes directions que celles de $F,$ soient respectivement $a',b',c'\,;$ ce mobile sera donc sollicité suivant les axes par les forces $a+a',\ b+b',\ c+c'\,;$ ainsi les composantes de ces vitesses totales suivant ces mêmes axes seront

$\varphi (a+a'),\qquad \varphi (b+b'),\qquad \varphi (c+c')\,;$

de sorte que, par exemple, en désignant par $x'$ l’accroissement de la vitesse $x$ dû à la force $F',$ on aura

$x+x'=\varphi (a+a')=\varphi (a)+\varphi '(a){\frac {a'}{1}}+\varphi ''(a){\frac {a'^{2}}{1.2}}+\ldots \,;$

puis donc que $x=\varphi (a),$ on tirera de là

$x'=\varphi '(a){\frac {a'}{1}}+\varphi ''(a){\frac {a'^{2}}{1.2}}+\varphi '''(a){\frac {a'^{3}}{1.2.3}}+\ldots .$

Cela posé, en admettant que la vitesse relative doit être indépendante du mouvement de la terre, et que cette condition exige que, le second membre étant indépendant de $a,$ les coefficiens des puissances de $a'$ en soient aussi indépendans ou soient constans, on aura $\varphi '.(a)=k,\ k$ étant une constante. De là on déduira $\varphi ''(a)=0,\ \varphi '''(a)=0,\ldots \,;$ ce qui réduira l’équation ci-dessus à $x'=ka'.$ On aura pareillement $y'=kb',\ z'=kb'\,;$ d’où on conclura, comme M. Fauquier, que si une force $\mathrm {f}$ imprime à un mobile une vitesse $\mathrm {v} ,$ on aura, en général, $\mathrm {v=kf\ k}$ étant une constante.

Agréez, etc.

La Motte, près St-Mâlo, le 10 juin 1824.

1. Voyez tom. XIV, pag. 370.
   J. D. G.