Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Arithmétique, article 1

Démonstration élémentaire de la valeur infinie de la somme des inverses des nombres naturels ; par M. Bouvier.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 39-40).

ARITHMÉTIQUE.

Démonstration élémentaire de la valeur infinie
de la somme des inverses des nombres naturels ;

M. L. C. Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit posée

${\begin{aligned}&z=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots \\\\&x=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+\ldots \\\\&y=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{14}}+\ldots \end{aligned}}$

nous aurons évidemment

$x+y=z,\qquad 2y=z,$

et par suite

$x+y=2y\qquad$ou$\qquad x=y.$

Mais, d’un autre côté, $y$ n’étant autre chose que $x,$ dans laquelle on a augmenté tous les dénominateurs d’une unité, si $x,y,z$ avaient des valeurs finies, on devrait avoir

$x>y.$

Cette relation étant donc incompatible avec la précédente, il en faut conclure que $x$ et $y$ sont infinis, et que conséquemment leur somme $z$ l’est aussi.

Il faudrait bien toutefois se garder de conclure de là que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/ » :): {\displaystyle x=y} et que conséquemment

$0=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+\ldots$

on n’a en effet $x=y$ qu’autant que ces deux infinies ne différent que d’une quantité finie qui s’évanouit devant eux ; et c’est précisément ce qui arrive ici ; car, comme l’on sait,

$\operatorname {Log} .2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+\ldots$

de sorte qu’on a réellement

$x-y=\operatorname {Log} .2,$ et conséquemment $x>y,$

comme nous l’avions trouvé.