Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Géométrie analitique, article 4

Solution d’un problème de géométrie ; par M. Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 10, 1820 (p. 380-385).

Solution analitique ;

Par M. Gergonne.

Soient $a,b,c$ les trois côtés du triangle donné, et $A,B,C$ les angles respectivement opposés, dont les sommets sont supposés $\mathrm {A,B,C.}$

Soit pris l’angle trièdre tri-rectangle donné pour celui des coordonnées positives ; supposons, pour plus de généralité, que la point donné soit quelconque dans cet angle trièdre, et que ses trois coordonnées soient $\alpha ,\beta ,\gamma .$

Supposons encore qu’on exige que, dans le triangle cherché, les sommets homologues à $\mathrm {A,B,C,}$ soient respectivement sur les axes des $X,Y,Z,$ que nous prendrons pour symboles des coordonnées courantes.

Tout se réduit évidemment à déterminer les segmens qui devront être interceptés sur les axes des $X,Y,Z,$ à partir de l’origine par le plan cherché. Représentons respectivement ces segmens par $x,y,z.$

L’équation du plan cherché sera conséquemment

${\frac {X}{x}}+{\frac {Y}{y}}+{\frac {Z}{z}}=1\,;$

et, puisque ce plan doit contenir le point donné, on aura

${\frac {\alpha }{x}}+{\frac {\beta }{y}}+{\frac {\gamma }{z}}=1,$

ou bien

$\alpha yz+\beta zx+\gamma xy=xyz.\qquad$(1)

Mais, puisque le triangle cherché doit être semblable au triangle donné, on devra avoir aussi

$\left.{\begin{aligned}y^{2}+z^{2}=&\lambda ^{2}a^{2},\\z^{2}+x^{2}=&\lambda ^{2}b^{2},\\x^{2}+y^{2}=&\lambda ^{2}c^{2}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(2)

$\lambda$ étant un nombre inconnu, indiquant le rapport des côtés homologues de ces deux triangles. Nous avons donc ainsi quatre équations entre les quatre inconnues $x,y,z,\lambda .$

En retranchant tour-à-tour chacune des équations (2) de la somme des deux autres ; il viendra

${\begin{aligned}&2x^{2}=\lambda ^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})=2\lambda ^{2}bc\operatorname {Cos} .A,\\&2y^{2}=\lambda ^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})=2\lambda ^{2}ca\operatorname {Cos} .B,\\&2z^{2}=\lambda ^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=2\lambda ^{2}ab\operatorname {Cos} .C\,;\\\end{aligned}}$

d’où, en divisant par 2 et extrayant la racine quarrée des deux membres

$\left.{\begin{aligned}&x=\lambda {\sqrt {bc\operatorname {Cos} .A}},\\&y=\lambda {\sqrt {ca\operatorname {Cos} .B}},\\&z=\lambda {\sqrt {ab\operatorname {Cos} .C}},\\\end{aligned}}\right\}\quad$(3)

on aura donc

$\alpha yz+\beta zx+\gamma xy=\lambda \left\{{\begin{aligned}&\alpha a{\sqrt {bc\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}\\+&\beta b{\sqrt {ca\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .A}}\\+&\gamma c{\sqrt {ab\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}}\end{aligned}}\right\},$

et

$xyz=\lambda ^{3}abc{\sqrt {\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}\,;$

substituant donc dans l’équation (1) et divisant par $\lambda ^{2},$ il viendra

$\alpha a{\sqrt {bc\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}++\beta b{\sqrt {ca\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .A}}++\gamma c{\sqrt {ab\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}}$

$=\lambda abc{\sqrt {\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}\,;$

d’où

$\lambda ={\frac {\alpha }{\sqrt {bc\operatorname {Cos} .A}}}+{\frac {\beta }{\sqrt {ca\operatorname {Cos} .B}}}+{\frac {\gamma }{\sqrt {ab\operatorname {Cos} .C}}}\,;$

Tel est donc le rapport des côtés du triangle cherché à ceux du triangle donné.

En substituant enfin cette valeur de $\lambda$ dans les cquations (3), on aura

${\begin{aligned}&x=\alpha +\beta {\sqrt {\frac {b\operatorname {Cos} .A}{a\operatorname {Cos} .C}}}+\gamma {\sqrt {\frac {c\operatorname {Cos} .A}{a\operatorname {Cos} .C}}},\\\\&y=\beta +\gamma {\sqrt {\frac {c\operatorname {Cos} .B}{b\operatorname {Cos} .C}}}+\alpha {\sqrt {\frac {a\operatorname {Cos} .B}{b\operatorname {Cos} .A}}},\\\\&z=\gamma +\alpha {\sqrt {\frac {a\operatorname {Cos} .C}{c\operatorname {Cos} .A}}}+\beta {\sqrt {\frac {b\operatorname {Cos} .C}{c\operatorname {Cos} .B}}}.\\\end{aligned}}$

Telles sont donc les valeurs des inconnues du problème.

Mais si des sommets $\mathrm {A,B,C}$ du triangle donné, on abaisse respectivement des perpendiculaires $\mathrm {AA',BB',CC'}$ sur les directions des côtés opposés $\mathrm {BC,CA,AB,}$ on aura

${\begin{alignedat}{2}{\rm {BA'=}}&c\operatorname {Cos} .B,\qquad &{\rm {AB'=}}&c\operatorname {Cos} .A,\\{\rm {CB'=}}&a\operatorname {Cos} .C,&{\rm {BC'=}}&a\operatorname {Cos} .B,\\{\rm {AC'=}}&b\operatorname {Cos} .A,&{\rm {CA'=}}&b\operatorname {Cos} .C,\end{alignedat}}$

donc, en substituant, on aura

${\begin{aligned}&x=\mathrm {\alpha +\beta {\sqrt {\frac {AC'}{BC'}}}+\gamma {\sqrt {\frac {AB'}{CB'}}},} \\\\&y=\mathrm {\beta +\gamma {\sqrt {\frac {BA'}{CA'}}}+\alpha {\sqrt {\frac {BC'}{AC'}}},} \\\\&z=\mathrm {\gamma +\alpha {\sqrt {\frac {CB'}{AB'}}}+\beta {\sqrt {\frac {CA'}{BA'}}}.} \\\end{aligned}}$

Si, présentement, sur les trois côtés du triangle donné, pris successivement comme diamètres, on décrit trois demi-cercles, et qu’on prolonge respectivement les perpendiculaires $\mathrm {AA',BB',CC',}$ jusqu’à la rencontre de leurs circonférences en $\mathrm {A'',B'',C''} \,;$ en menant $\mathrm {BA'',CA'',CB'',AB'',AC''} ,$$\mathrm {BC''} ,$ par la propriété des cordes inscrites aux demi-cercles, on aura

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {AC'}{BC'}}=\left({\frac {AC''}{BC''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {BA'}{CA'}}=\left({\frac {BA''}{CA''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {CB'}{AB'}}=\left({\frac {CB''}{AB''}}\right)^{2}} \,;\\\end{aligned}}\right\}\quad {\rm {{d'o{\grave {u}}}\quad \left\{{\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {BC'}{AC'}}=\left({\frac {BC''}{AC''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {CA'}{BA'}}=\left({\frac {CA''}{BA''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {AB'}{CB'}}=\left({\frac {AB''}{CB''}}\right)^{2}} \,;\\\end{aligned}}\right.}}$

substituant donc, il viendra finalement

${\begin{aligned}&x=\mathrm {\alpha +\beta {\frac {AC''}{BC''}}+\gamma {\frac {AB''}{CB''}},} \\\\&y=\mathrm {\beta +\gamma {\frac {BA''}{CA''}}+\alpha {\frac {BC''}{AC''}},} \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&z=\mathrm {\gamma +\alpha {\frac {CB''}{AB''}}+\beta {\frac {CA''}{BA''}},} \\\\\end{aligned}}$

valeurs extrêmement faciles à construire.