Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Analise indéterminée, article 2

Démonstration d’un théorème sur les puissances paires des nombres impairs ; par M. Frégier.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 9, 1819 (p. 285-288).

Démonstration du théorème d’analise indéterminée
énoncé à la page 228 de ce volume ;

Par M. Frégier, professeur de mathématiques au collège
de Troye, ancien élève de l’école polytechnique.

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THÉORÈME. Toute puissance paire d’un nombre impair, diminué d’une unité, est toujours divisible par une puissance de deux supérieure de deux unités à celle qui divise son exposant.

Démonstration. Tout se réduit évidemment à démontrer que, quels que soient d’ailleurs les trois nombres entiers positifs $a,k,n,$ l’expression

${\frac {(1+2a)^{2^{n}.k}-1}{2^{n+2}}}$

est toujours un nombre entier.

D’abord, comme on a

$(1+2a)^{2^{n}.k}=\left\{(1+2a)^{k}\right\}^{2^{n}},$

et comme d’ailleurs $(1+2a)^{k},$ est nécessairement un nombre impair, que l’on peut représenter par $1+2A\,;$ tout se réduit à démontrer que l’expression

${\frac {(1+2A)^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}}$

est un nombre entier.

On a, en second lieu,

$(1+2A)^{2^{n}}=\left\{(1+2A)^{2}\right\}^{2^{n-1}}\,;$

mais

$(1+2A)^{2}=1+4A+4A^{2}=1+4A(1+A)\,;$

et comme, quel que soit $A,\ A(1+A)$ est nécessairement un nombre pair, que l’on peut représenter par $2B,$ on aura

$(1+2A)^{2}=1+8B,$

et, par suite

$(1+2A)^{2^{n}}=(1+8B)^{2^{n-1}}\,;$

tout se réduit donc à démontrer que la formule

${\frac {(1+8B)^{2^{n-1}}-1}{2^{n+2}}}$

est un nombre entier.

Cela est d’abord évident, pour le cas où $n=1$ ; puisqu’alors elle se réduit à $B.$ On trouve de plus

$(1+8B)^{2}=1+16B+64B^{2}=1+16B(1+4B),$

que l’on peut représenter par $1+16B'$

$(1+8B)^{4}=(1+16B')^{2}=1+32B'+256B'^{2}=1+32B'(1+8B'),$

que l’on peut représenter par $1+32B'',$ et ainsi de suite, ce qui est déjà conforme à l’énoncé du théorème. Or, si, en général, suivant cet énoncé, on a

$(1+8B)^{2^{k-1}}=1+2^{k+2}G,$

on aura

$(1+8B)^{2^{k}}=\left(1+2^{k+2}G\right)^{2},$

ou

$(1+8B)^{2^{k}}=1+2^{k+3}G+2^{2k+4}G^{2}$

ou encore

$(1+8B)^{2^{k}}=1+2^{k+3}G\left(1+2^{k+1}G\right)$

quantité de la forme $1+2^{k+3}G'.$ Il demeure donc établi que, si la puissance $2^{k-1}$ de $1+8B,$ diminuée d’une unité, est divisible par $2^{k+2},$ sa puissance $2^{k},$ diminuée également d’une unité, le sera par $2^{k+3},$ puis donc que ces puissances $2^{0},2^{1},2^{2},$ diminuées d’une unité, le sont respectivement par $2^{3},2^{4},2^{5},$ il s’ensuit que sa puissance du degré $2^{n-1},$ diminuée d’une unité, le sera par $2^{n+2}\,;$ l’expression

${\frac {(1+8B)^{2^{n-1}}-1}{2^{n+2}}}$

est donc un nombre entier ; l’expression

${\frac {(1+2A)^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}}$

en sera donc un aussi, et, conséquemment, il en sera de même de

${\frac {(1+2a)^{2^{n}.k}-1}{2^{n+2}}}$

le théorème est donc démontré en toute rigueur.

Soient les deux formules

${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-1}{2^{p+2}}},\qquad {\frac {(1+2b)^{2^{q}.h}-1}{2^{q+2}}},$

elles seront l’une et l’autre des nombres entiers, par ce qui précède. Si $p$ n’est pas moindre que $q,$ à plus forte raison la formule

${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-1}{2^{q+2}}}$

sera aussi un nombre entier, d’où il suit que sa différence avec la seconde des deux ci-dessus sera également un nombre entier. Ainsi, la formule

${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-(1+2b)^{2^{q}.h}}{2^{q+2}}},$

dans laquelle on suppose $p>q-1$ est nécessairement un nombre entier ; et l’on prouverait évidemment la même chose de la formule

${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-(1+2b)^{2^{q}.h}}{2^{p+2}}},$

dans laquelle on aurait $q>p-1.$

Si l’on suppose $p=q=1,$ on aura la formule

${\frac {\left[(1+2a)^{g}\right]^{2}-\left[(1+2b)^{h}\right]^{2}}{8}},$

ou, plus simplement, la formule

${\frac {(1+2A)^{2}-(1+2B)^{2}}{8}},$

qui devra être un nombre entier ; c’est-à-dire, que la différence de deux quarrés impairs est toujours divisible par huit.

Donc, la somme de deux nombres impairs multipliés par leur différence donne un produit divisible par huit ; d’où il suit encore que la somme ou la différence de deux nombres impairs doit nécessairement être divisible par quatre^[1].

1. Cette vérité s’aperçoit immédiatement en observant que tout nombre impair est compris dans la double formule $4n\pm 1\,;$ ou, ce qui revient au même, que tout nombre impair, augmenté ou diminué d’une unité, devient divisible par quatre.
   J. D. G.