« Page:Gauss - Recherches générales sur les surfaces courbes, 1852.djvu/9 » : différence entre les versions
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Il faut maintenant distinguer trois cas. ''Premièrement'', chaque fois que <math>\mathrm{L''}</math> est situé sur le grand cercle dont fait partie l’arc <math>\mathrm{LL'}</math>, on aura <math>\lambda L'' = 90</math> degrés, et par suite, <math>\Delta = 0</math>. Mais quand <math>\mathrm{L''}</math> est situé hors de ce grand cercle, on aura le ''deuxième'' cas, s’il est dans le même hémisphère que <math>\lambda</math> ; le ''troisième'', s’il est dans l’hémisphère opposé : dans ces derniers cas, les points <math>\mathrm{L, \, L', \, L''}</math> formeront un triangle sphérique, et seront placés, dans le deuxième cas, dans le même ordre que les points <math>(1), \, (2), \, (3),</math> et, dans le troisième cas, dans l’ordre opposé. En désignant simplement par <math>\mathrm{L, \, L', \, L''}</math> les angles de ce triangle et par <math>p</math> la perpendiculaire menée, sur la surface de la sphère, du point <math>\mathrm{L''}</math> au côté <math>\mathrm{LL'}</math>, on aura |
Il faut maintenant distinguer trois cas. ''Premièrement'', chaque fois que <math>\mathrm{L''}</math> est situé sur le grand cercle dont fait partie l’arc <math>\mathrm{LL'}</math>, on aura <math>\lambda L'' = 90</math> degrés, et par suite, <math>\Delta = 0</math>. Mais quand <math>\mathrm{L''}</math> est situé hors de ce grand cercle, on aura le ''deuxième'' cas, s’il est dans le même hémisphère que <math>\lambda</math> ; le ''troisième'', s’il est dans l’hémisphère opposé : dans ces derniers cas, les points <math>\mathrm{L, \, L', \, L''}</math> formeront un triangle sphérique, et seront placés, dans le deuxième cas, dans le même ordre que les points <math>(1), \, (2), \, (3),</math> et, dans le troisième cas, dans l’ordre opposé. En désignant simplement par <math>\mathrm{L, \, L', \, L''}</math> les angles de ce triangle et par <math>p</math> la perpendiculaire menée, sur la surface de la sphère, du point <math>\mathrm{L''}</math> au côté <math>\mathrm{LL'}</math>, on aura |
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{{c|<math>\sin p = \sin L. \sin LL'' = \sin L'. \sin L'L''</math>, et <math>\lambda L'' = 90^\circ \mp p,</math>}} |
{{c|<math>\sin p = \sin \mathrm{L}. \sin \mathrm{LL''} = \sin \mathrm{L'}. \sin \mathrm{L'L''}</math>, et <math>\lambda \mathrm{L''} = 90^\circ \mp p,</math>}} |
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{{br0}}le signe supérieur devant être pris dans le deuxième cas, et le signe supérieur dans le troisième. De là aussi nous tirons |
{{br0}}le signe supérieur devant être pris dans le deuxième cas, et le signe supérieur dans le troisième. De là aussi nous tirons |
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{{c|<math>\begin{alignat}{2} |
{{c|<math>\begin{alignat}{2} |
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\pm \Delta = \sin L. \sin LL'. \sin LL'' & = \sin L'. \sin LL'. sin L'L'' \\ |
\pm \Delta = \sin \mathrm{L}. \sin \mathrm{LL'}. \sin \mathrm{LL''} & = \sin \mathrm{L'}. \sin \mathrm{LL'}. sin \mathrm{L'L''} \\ |
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& = \sin L''. \sin LL''. \sin L'L''. |
& = \sin \mathrm{L''}. \sin \mathrm{LL''}. \sin \mathrm{L'L''}. |
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\end{alignat}</math>}} |
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