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GÉOMÉTRIE. — Sur la géométrie des sphères. Note de M. C. Stephanos.

1. Dans une importante Communication faite à l’Académie des Sciences (Comptes rendus, p. 71-73), M. Laguerre a introduit la notion ingénieuse des semi-plans, semi-sphères, etc., et fourni ainsi le point de départ pour la formation d’une Géométrie particulière, dans laquelle on considérerait comme élément de l’espace le semi-plan, ou plus généralement la semi-sphère.

En examinant quels seraient les matériaux de cette Géométrie, j’ai reconnu qu’elle devait être identique avec la géométrie des sphères de M. Lie^[1], en ce sens qu’elle s’occuperait des propriétés des figures de l’espace, inaltérables par les transformations entre sphères étudiées par l’éminent géomètre de Christiania. Dans cette Note je vais indiquer, si l’Académie veut bien le permettre, comment on peut établir la communauté de fond entre ces deux théories.

2. Pour cela je commencerai par présenter, pour les notions introduites par M. Laguerre, des définitions qui conviennent à mon but. Un semi-plan est constitué par un plan auquel on a attaché l’un des points suivant lesquels il coupe le cercle $C_{\infty }$ à l’infini. Une semi-sphère est constituée par une sphère considérée comme lieu de l’un de ses systèmes de droites. Il est aisé de voir, d’après cela, que l’on ne peut détacher d’une surface deux semi-surfaces distinctes que si les lignes géodésiques de longueur nulle de cette surface se séparent en deux systèmes distincts, de manière que par tout point ordinaire de la surface ne passe qu’une seule courbe de chacun de ces systèmes ; les cônes de révolution sont dans ce cas.

3. Je passe aux transformations entre sphères de M. Lie. Ces transformations résultent des transformations linéaires de l’espace des droites lorsqu’on fait correspondre, d’après Lie, à ces droites des sphères, de sorte que, $S$ étant la correspondance entre droites et sphères et $T$ une transformation linéaire de l’espace des droites, $R=S^{-1}TS$ sera la correspondance entre sphères qui en résulte.

Maintenant, l’introduction de la notion des semi-sphères dans les correspondances

1. Lie, Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe (Math. Annalen, t. V, p. 164-188; 1872). — Voir aussi : Klein, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen ; Erlangen, 1872, § 7. — Il est juste de noter que la présente Note est conçue dans l’esprit des principes développés par M. Klein dans ce travail.