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Nous sommes amenés de la sorte à nous poser le problème suivant: quelles forces supplémentaires, autres que les forces de liaison, serait-il nécessaire de faire intervenir pour rendre compte de la loi de {{sc|Lorentz}} ou, plus généralement, de toute loi autre que celle de {{sc|Langevin}}? |
Nous sommes amenés de la sorte à nous poser le problème suivant: quelles forces supplémentaires, autres que les forces de liaison, serait-il nécessaire de faire intervenir pour rendre compte de la loi de {{sc|Lorentz}} ou, plus généralement, de toute loi autre que celle de {{sc|Langevin}}? |
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L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de |
L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de <math>\theta</math> et de <math>r</math>; soit <math>F(\theta, r)</math> ce potentiel; dans ce cas l'action aura pour expression: |
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<center><math>J=\int\left[H+F(\theta,r)\right]dt</math></center> |
<center><math>J=\int\left[H+F(\theta,r)\right]dt</math></center> |
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{{MathForm1|(8)|<math>\frac{dH}{d\theta}+\frac{dF}{d\theta}=0,\quad\frac{dH}{dr}+\frac{dF}{dr}=0.</math>}} |
{{MathForm1|(8)|<math>\frac{dH}{d\theta}+\frac{dF}{d\theta}=0,\quad\frac{dH}{dr}+\frac{dF}{dr}=0.</math>}} |
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Si nous supposons r et |
Si nous supposons <math>r</math> et <math>\theta</math> liés par la liaison <math>r = b\theta^m</math>, nous pourrons regarder <math>r</math> comme fonction de <math>\theta</math>, envisager <math>F</math> comme ne dépendant que de <math>\theta</math> et conserver seulement la 1<sup>ere</sup> équation (8) avec: |
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<center><math>H=\frac{\varphi}{bk^{2}\theta^{m}},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{-m\theta}{bk^{2}\theta^{m+1}}+\frac{\varphi^{\prime}}{bk^{3}\theta^{m}}</math></center> |
<center><math>H=\frac{\varphi}{bk^{2}\theta^{m}},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{-m\theta}{bk^{2}\theta^{m+1}}+\frac{\varphi^{\prime}}{bk^{3}\theta^{m}}</math></center> |
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Il faut que, pour k = |
Il faut que, pour <math>k =\theta</math>, l'équation (8) soit satisfaite; ce qui donne, en tenant compte des équations (7): |
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<center><math>\frac{dF}{d\theta}=\frac{ma}{b\theta^{m+3}}+\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}</math></center> |
<center><math>\frac{dF}{d\theta}=\frac{ma}{b\theta^{m+3}}+\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}</math></center> |
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<center><math>F=\frac{-a}{b\theta^{m+2}}\frac{m+\frac{2}{3}}{m+2}</math></center> |
<center><math>F=\frac{-a}{b\theta^{m+2}}\frac{m+\frac{2}{3}}{m+2}</math></center> |
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{{Br0}}et dans l'hypothèse de {{sc|Lorentz}}, où m=-1: |
{{Br0}}et dans l'hypothèse de {{sc|Lorentz}}, où <math>m=-1</math>: |
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<center><math>F=\frac{a}{3b\theta}.</math></center> |
<center><math>F=\frac{a}{3b\theta}.</math></center> |
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Supposons maintenant qu'il n'y ait aucune liaison et, considérant r et |
Supposons maintenant qu'il n'y ait ''aucune'' liaison et, considérant <math>r</math> et <math>\theta</math> comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (8); il viendra: |
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<center><math>H=\frac{\varphi}{k^{2}r},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{\varphi^{\prime}}{k^{3}r},\quad\frac{dH}{dr}=\frac{-\varphi}{k^{2}r^{2}},</math></center> |
<center><math>H=\frac{\varphi}{k^{2}r},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{\varphi^{\prime}}{k^{3}r},\quad\frac{dH}{dr}=\frac{-\varphi}{k^{2}r^{2}},</math></center> |
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Les équations (8) doivent être satisfaites pour k = |
Les équations (8) doivent être satisfaites pour <math>k = \theta</math>, <math>r = b\theta^m</math>; ce qui donne: |
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{{MathForm1|(9)|<math>\frac{dF}{dr}=\frac{a}{b^{2}\theta^{2m+2}},\quad\frac{dF}{d\theta}=\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}.</math>}} |
{{MathForm1|(9)|<math>\frac{dF}{dr}=\frac{a}{b^{2}\theta^{2m+2}},\quad\frac{dF}{d\theta}=\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}.</math>}} |