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Nous sommes amenés de la sorte à nous poser le problème suivant: quelles forces supplémentaires, autres que les forces de liaison, serait-il nécessaire de faire intervenir pour rendre compte de la loi de {{sc|Lorentz}} ou, plus généralement, de toute loi autre que celle de {{sc|Langevin}}?
Nous sommes amenés de la sorte à nous poser le problème suivant: quelles forces supplémentaires, autres que les forces de liaison, serait-il nécessaire de faire intervenir pour rendre compte de la loi de {{sc|Lorentz}} ou, plus généralement, de toute loi autre que celle de {{sc|Langevin}}?


L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de θ et de r; soit F(θ, r) ce potentiel; dans ce cas l'action aura pour expression:
L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de <math>\theta</math> et de <math>r</math>; soit <math>F(\theta, r)</math> ce potentiel; dans ce cas l'action aura pour expression:


<center><math>J=\int\left[H+F(\theta,r)\right]dt</math></center>
<center><math>J=\int\left[H+F(\theta,r)\right]dt</math></center>
Ligne 11 : Ligne 11 :
{{MathForm1|(8)|<math>\frac{dH}{d\theta}+\frac{dF}{d\theta}=0,\quad\frac{dH}{dr}+\frac{dF}{dr}=0.</math>}}
{{MathForm1|(8)|<math>\frac{dH}{d\theta}+\frac{dF}{d\theta}=0,\quad\frac{dH}{dr}+\frac{dF}{dr}=0.</math>}}


Si nous supposons r et &theta; liés par la liaison r = b&theta;<sup>m</sup>, nous pourrons regarder r comme fonction de &theta;, envisager F comme ne dépendant que de &theta; et conserver seulement la 1<sup>ere</sup> équation (8) avec:
Si nous supposons <math>r</math> et <math>\theta</math> liés par la liaison <math>r = b\theta^m</math>, nous pourrons regarder <math>r</math> comme fonction de <math>\theta</math>, envisager <math>F</math> comme ne dépendant que de <math>\theta</math> et conserver seulement la 1<sup>ere</sup> équation (8) avec:


<center><math>H=\frac{\varphi}{bk^{2}\theta^{m}},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{-m\theta}{bk^{2}\theta^{m+1}}+\frac{\varphi^{\prime}}{bk^{3}\theta^{m}}</math></center>
<center><math>H=\frac{\varphi}{bk^{2}\theta^{m}},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{-m\theta}{bk^{2}\theta^{m+1}}+\frac{\varphi^{\prime}}{bk^{3}\theta^{m}}</math></center>


Il faut que, pour k =&theta; l'équation (8) soit satisfaite; ce qui donne, en tenant compte des équations (7):
Il faut que, pour <math>k =\theta</math>, l'équation (8) soit satisfaite; ce qui donne, en tenant compte des équations (7):


<center><math>\frac{dF}{d\theta}=\frac{ma}{b\theta^{m+3}}+\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}</math></center>
<center><math>\frac{dF}{d\theta}=\frac{ma}{b\theta^{m+3}}+\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}</math></center>
Ligne 23 : Ligne 23 :
<center><math>F=\frac{-a}{b\theta^{m+2}}\frac{m+\frac{2}{3}}{m+2}</math></center>
<center><math>F=\frac{-a}{b\theta^{m+2}}\frac{m+\frac{2}{3}}{m+2}</math></center>


{{Br0}}et dans l'hypothèse de {{sc|Lorentz}}, où m=-1:
{{Br0}}et dans l'hypothèse de {{sc|Lorentz}}, où <math>m=-1</math>:


<center><math>F=\frac{a}{3b\theta}.</math></center>
<center><math>F=\frac{a}{3b\theta}.</math></center>


Supposons maintenant qu'il n'y ait aucune liaison et, considérant r et &theta; comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (H); il viendra:
Supposons maintenant qu'il n'y ait ''aucune'' liaison et, considérant <math>r</math> et <math>\theta</math> comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (8); il viendra:


<center><math>H=\frac{\varphi}{k^{2}r},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{\varphi^{\prime}}{k^{3}r},\quad\frac{dH}{dr}=\frac{-\varphi}{k^{2}r^{2}},</math></center>
<center><math>H=\frac{\varphi}{k^{2}r},\quad\frac{dH}{d\theta}=\frac{\varphi^{\prime}}{k^{3}r},\quad\frac{dH}{dr}=\frac{-\varphi}{k^{2}r^{2}},</math></center>


Les équations (8) doivent être satisfaites pour k = &theta;, r = v&theta;<sup>m</sup>; ce qui donne:
Les équations (8) doivent être satisfaites pour <math>k = \theta</math>, <math>r = b\theta^m</math>; ce qui donne:


{{MathForm1|(9)|<math>\frac{dF}{dr}=\frac{a}{b^{2}\theta^{2m+2}},\quad\frac{dF}{d\theta}=\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}.</math>}}
{{MathForm1|(9)|<math>\frac{dF}{dr}=\frac{a}{b^{2}\theta^{2m+2}},\quad\frac{dF}{d\theta}=\frac{2}{3}\frac{a}{b\theta^{m+3}}.</math>}}