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« Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/19 » : différence entre les versions

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<center><math>d\tau_{1}=dx_{1}dy_{1}dz_{1},\quad r^{2}=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},</math></center>
<center><math>d\tau_{1}=dx_{1}dy_{1}dz_{1},\quad r^{2}=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},</math></center>


{{Br0}}tandis que &rho;<sub>1</sub>, et &xi;<sub>1</sub>, sont les valeurs de &rho; et de &xi; au point x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>, et à l'instant
{{Br0}}tandis que <math>\rho_1</math> et <math>\xi_1</math> sont les valeurs de <math>\rho</math> et de <math>\xi</math> au point <math>x_1</math>, <math>y_1</math>, <math>z_1</math>, et à l'instant


<center><math>t_{1}=t-r\,</math></center>
<center><math>t_{1}=t-r.</math></center>


Soient: x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub> les coordonnées d'une molécule d'électron à l'instant t;
Soient: <math>x_0</math>, <math>y_0</math>, <math>z_0</math> les coordonnées d'une molécule d'électron à l'instant <math>t</math>;


{{Br0}}ses coordonnées à l'instant t;
{{Br0}}ses coordonnées à l'instant t;


<center><math>x_{1}=x_{0}+U,\ y_{1}=y_{0}+V,\ z_{1}=z_{0}+W</math></center>
<center><math>x_{1}=x_{0}+U,\quad y_{1}=y_{0}+V,\quad z_{1}=z_{0}+W</math></center>
{{Br0}}ses coordonnées à l'instant <math>t_1</math>.


{{Br0}}U, V, W sont des fonctions de x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>, de sorte que nous pourrons écrire:
<math>U</math>, <math>V</math>, <math>W</math> sont des fonctions de <math>x_0</math>, <math>y_0</math>, <math>z_0</math>, de sorte que nous pourrons écrire:


<center><math>dx_{1}=dx_{0}+\frac{dU}{dx_{0}}dx_{0}+\frac{dU}{dy_{0}}dy_{0}+\frac{dU}{dz_{0}}dz_{0}+\xi_{1}dt_{1};</math></center>
<center><math>dx_{1}=dx_{0}+\frac{dU}{dx_{0}}dx_{0}+\frac{dU}{dy_{0}}dy_{0}+\frac{dU}{dz_{0}}dz_{0}+\xi_{1}dt_{1};</math></center>


{{Br0}}et si l'on suppose t constant, ainsi que x, y et z:
{{Br0}}et si l'on suppose <math>t</math> constant, ainsi que <math>x</math>, <math>y</math> et <math>z</math>:


<center><math>dt_{1}=+\sum\frac{x-x_{1}}{r}dx_{1}.</math></center>
<center><math>dt_{1}=+\sum\frac{x-x_{1}}{r}dx_{1}.</math></center>
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{{Br0}}en posant
{{Br0}}en posant


<center><math>d\tau_{0}=dx_{0}dy_{0}dz_{0}\,</math></center>
<center><math>d\tau_{0}=dx_{0}dy_{0}dz_{0}.</math></center>


Étudions les déterminants qui figurent dans les deux membres de (3) et d'abord dans le 1<sup>er</sup> membre; si on cherche à le développer, on voit que les termes du 2<sup>d</sup> et du 3<sup>e</sup> degré par rapport à &xi;<sub>1</sub>, &eta;<sub>1</sub>, &zeta;<sub>1</sub> disparaissent et que le déterminant est égal à
Étudions les déterminants qui figurent dans les deux membres de (3) et d'abord dans le 1<sup>er</sup> membre; si on cherche à le développer, on voit que les termes du 2<sup>d</sup> et du 3<sup>e</sup> degré par rapport à <math>\xi_1</math>, <math>\eta_1</math>, <math>\zeta_1</math> disparaissent et que le déterminant est égal à


<center><math>1+\xi_{1}\frac{x_{1}-x}{r}+\eta_{1}\frac{y_{1}-y}{r}+\zeta_{1}\frac{z_{1}-z}{r}=1+\omega,</math></center>
<center><math>1+\xi_{1}\frac{x_{1}-x}{r}+\eta_{1}\frac{y_{1}-y}{r}+\zeta_{1}\frac{z_{1}-z}{r}=1+\omega,</math></center>


{{Br0}}&omega; désignant la composante radiale de la vitesse &xi;<sub>1</sub>, &eta;<sub>1</sub>, &zeta;<sub>1</sub>, c'est-à-dire la composante dirigée suivant le rayon vecteur qui va dit point x, y, t au point x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>.
{{Br0}}<math>\omega</math> désignant la composante radiale de la vitesse <math>\xi_1</math>, <math>\eta_1</math>, <math>\zeta_1</math>, c'est-à-dire la composante dirigée suivant le rayon vecteur qui va dit point <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> au point <math>x_1</math>, <math>y_1</math>, <math>z_1</math>.


Pour obtenir le 2<sup>d</sup> déterminant, j'envisage les coordonnées des différentes molécules de l'électron à un instant t', qui est le même pour toutes les molécules, mais de telle façon que pour la molécule que j'envisage on ait t<sub>1</sub>=t'<sub>1</sub>. Les coordonnées d'une molécule seront alors:
Pour obtenir le 2<sup>d</sup> déterminant, j'envisage les coordonnées des différentes molécules de l'électron à un instant <math>t'</math>, qui est le même pour toutes les molécules, mais de telle façon que pour la molécule que j'envisage on ait <math>t_1 = t'_1</math>. Les coordonnées d'une molécule seront alors:


<center><math>x'_{1}=x_{0}+U',\ y'_{1}=y_{0}+V',\ z'_{1}=z_{0}+W'</math></center>
<center><math>x'_{1}=x_{0}+U',\quad y'_{1}=y_{0}+V',\quad z'_{1}=z_{0}+W',</math></center>
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