« Le partage de l’énergie entre la matière pondérable et l’éther » : différence entre les versions
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permet d'écrire pour la seconde
(11)
Dx = Sigma((q(3))*(alpha) + (q'(3))*(alpha'))*cos(((u*Pi)/f)*x)*sin(((v*Pi)/g)*y)*sin(((w*Pi)/h)*z),
Dy = Sigma((q(3))*(beta) + (q'(3))*(beta'))*sin(((u*Pi)/f)*x)*cos(((v*Pi)/g)*y)*sin(((w*Pi)/h)*z),
Dz = Sigma((q(3))*(gamma) + (q'(3))*(gamma'))*sin(((u*Pi)/f)*x)*sin(((v*Pi)/g)*y)*cos(((w*Pi)/h)*z),
Ici, on a pris pour axes des coordonnées trois arêtes du parallélépipède, et on
des nombres entiers et positifs, et pour chaque système (u, v, w) de leurs valeurs,
on a introduit deux directions déterminées par les cosinus alpha, beta, gamma, alpha', beta', gamma', ces
directions étant perpendiculaires entre elles et à celle qui est déterminée par u/f, v/g, w/h.
De plus, pour chaque système (u, v, w), il y a deux coefficients q(3) et q'(3);
enfin, les sommes doivent être étendues à toutes les combinaisons possibles des u,
v, w. Ce sont les grandeurs
Il s'agit maintenant d'indiquer les valeurs des énergies U et L. Lorsqu'un
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aux champs élémentaires pris séparément, tandis que chacune des autres provient de
la coexistence de deux champs élémentaires. Dans le cas qui nous occupe, il y a
d'abord les champs électriques dépendant des coordonnées
magnétiques, chacun d'eux correspond à une certaine distribution du courant électrique.
Quand une coordonnée
déplace, nous avons un courant de convection, combiné avec un courant de déplacement
dans l'éther ambiant; l'intensité de ces courants, et celle du champ magnétique
qu'ils produisent, sont alors proportionnelles à
d'une coordonnée
les composantes en différentiant par rapport à t les expressions (11). Ce courant et
son champ magnétique sont proportionnels à la dérivée
Remarquons encore que, dans l'expression pour l'énergie électrique, il n'y a ni
de termes avec le produit d'un
duit de deux
l'expression pour l'énergie magnétique.
En fin de compte, on peut écrire
(12) U = U
U0 étant une fonction des coordonnées q(1) et q(2), et
(13) L = L(0) + ((f*g*h)/(16*(c^2)))*Sigma(((q'(3))^2)/((Pi^2)*((u^2)/(f^2) + (v^2)/(g^2) + (w^2)/(h^2)))) + Sigma(i,j)((l(i,j))*(q'(2*i))*(q'(3*j)))
terme de L contient tous les produits d'un q'(2) par un q'(3), chaque produit étant multiplié
par un coefficient qui est une fonction des coordonnées de l'électron auquel se
rapporte
à la coordonnée
Par un raisonnement qu'il est inutile d'indiquer ici, la formule générale (10)
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qui pourraient servir à traiter les problèmes qu'on étudie ordinairement à l'aide des
formules (5)-(9). Par exemple, dans l'expression pour la force exercée sur un électron,
il y aura un terme qui contient les vitesses
grandeurs
dans le champ magnétique.
Notons aussi que l'équation relative à une coordonnée
(l4) ((f*g*h)/(8*(c^2)))*((q"(3*j))/((Pi^2)*((u^2)/(f^2) + (v^2)/(g^2) + (w^2)/(h^2)))) + Sigma(i)((l(i,j))*(q"(2*i))) + Sigma(i)(((d(l(i,j)))/dt)*(q'(2*i))) + (1/8)*f*g*h*(q(3*j)).
Les termes contenant
les électrons; nous savons déjà qu'une telle radiation existe toutes les fois qu'il y
a des accélérations
Du reste, lorsque les électrons se trouvent en repos, de sorte que
représentés par
où a, n et s sont des constantes.
Si l'on substitue ces valeurs dans les équations (
correspondant à des ondes stationnaires. La longueur de ces ondes est donnée par
(15) lambda = 2/(sqrt((u^2)/(f^2) + (v^2)/(g^2) + (w^2)/(h^2))),
et la durée des vibrations par
tau = 2/(c*(sqrt((u^2)/(f^2) + (v^2)/(g^2) + (w^2)/(h^2)))),
de sorte qu'on retrouve la relation générale
Dans ce qui précède nous avons parlé des équations de LAGRANGE. Celles de
HAMILTON s'en déduisent par le procédé ordinaire, si l'on introduit les moments p
qu'on obtient en
Une des conditions qui est nécessaire pour que la méthode de GIBBS puisse
être appliquée à notre système, se trouve maintenant remplie. Cependant il y a encore
une difficulté. Dans chacun des systèmes dont nous pourrions composer un ensemble,
le nombre des coordonnées
infini, et il paraît difficile de faire la statistique par rapport à un nombre infini de
variables. Il est donc nécessaire de remplacer le système réel avec son nombre infini
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supposant que la masse soit concentrée en des points placés à des distances finies
sur un fil qui lui même est sans masse appréciable, un expédient dont on s'est souvent
servi pour trouver les modes de vibration d'une corde continue.
suivre la même voie dans l'étude d'un système électromagnétique, si l'on pouvait commencer
par des équations ne contenant que les valeurs des grandeurs électromagnétiques
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remplacement des équations différentielles par des équations à différences finies est
facile lorsqu'il s'agit des formules qui s'appliquent à l'éther libre, mais il m'a été
impossible de faire la même chose pour les équations qui contiennent la densité
de la charge.
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imaginons dans l'éther des liaisons qui excluent les champs électriques représentés
par les formules (11), pour lesquels la longueur d'onde (15) serait inférieure à une
certaine limite
canonique de GIBBS au module
Parmi les propriétés d'un tel ensemble il y en a une qui est d'un intérêt spécial
pour notre but. Supposons qu'une des coordonnées q, ou un des moments p
n'entre dans l'expression pour l'énergie E que dans un terme de la forme
On démontre alors que la valeur moyenne de la partie de l'énergie qui est indiquée
par ce terme, c'est-à-dire de la partie de l'énergie qui correspond à l'ordonnée ou
au moment en question, est donnée par la moitié du module
Ce résultat s'applique à quelques-
En premier lieu, si m est la masse d'une particule non chargée, disons d'une molécule,
du corps M, et
de cette molécule, l'énergie L contient le terme (1/2)*m*((q'(1))^2) ou ((p(1))^2)/(2*m), si p(1) est le moment
correspondant à la coordonnée q(1). Evidemment, ce moment ne se retrouve dans aucun
autre terme de L; la valeur moyenne dans l'ensemble canonique, de la partie de L
qui lui correspond est (1/2)*Thêta, et on trouve (3/2)*Thêta pour la valeur moyenne de l'énergie
due au mouvement du centre de gravité de la molécule. En effet, on peut répéter
le raisonnement précédent, en entendant par
de ce point. Fixons maintenant
molécules égales contenues dans le corps M; soit v le nombre de ces molécules.
L'énergie totale qu'elles possèdent en vertu du mouvement de leurs centres de grag
vite, aura dans l'ensemble canonique la valeur moyenne
Nous avons déjà vu que l'énergie en question peut être représentée par
T étant la température et
résultats montre que le module
et que l'on a
Thêta = (2/3)*alpha*T.
En second lieu, chaque coordonnée
terme
(1/16)*f*g*h*((q(3))^2),
de l'expression pour l'énergie électrique. Nous en concluons que, dans l'ensemble
canonique, l'énergie qui appartient à une seule coordonnée
moyenne, par
(1/2)*Thêta = (1/3)*alpha*T,
et celle qui appartient aux deux coordonnées q(3) et q'(3) que nous avons introduites
pour un système de valeurs des nombres u, v, w, par
(2/3)*alpha*T,
forme de la fonction du rayonnement est une conséquence presque immédiate
de ce résultat. Il est permis de supposer que les dimensions f
((4*Pi)/(lambda^4))*f*g*h*d(lambda)
pour le nombre des systèmes (u, v, w) pour lesquels la longueur d'onde est comprise
entre les limites
((8*Pi*alpha*T)/(3*(lambda^4)))*f*g*h*d(lambda),
pour l'énergie électrique moyenne dans les systèmes de l'ensemble canonique, en tant
que cette énergie appartient à l'intervalle (
même valeur pour le système que nous étudions, ce qui donne
((8*Pi*alpha*T)/(3*(lambda^4)))*d(lambda),
pour l'unité de volume. Remarquons enfin que dans l'éther qui entoure le corps
l'énergie magnétique est égale à l'énergie électrique, et nous voyons, en nous bornant
toujours à l'intervalle
((16*Pi*alpha*T)/(3*(lambda^4)))*d(lambda),
et que la fonction du rayonnement est donnée par
(16) F(lambda,T) = ((16*Pi*alpha*T)/(3*(lambda^4))).
Avant d'entrer dans une discussion de ce résultat, je dois mentionner la belle
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est basée sur les équations du champ électromagnétique; dans la seconde, PLANCK
suit une marche semblable à celle dont on s'est souvent servi dans les théories moléculaires.
Elle revient à examiner quelle distribution de l'énergie doit être considérée
comme la plus probable. Ici, une idée nouvelle est introduite. PLANCK suppose
qu'un résonateur ne puisse pas gagner ou perdre de l'énergie par degrés infinitésimaux,
mais seulement par des portions ayant une grandeur finie et déterminée ; ces
portions seraient inégales pour des résonateurs à périodes de vibration
En effet, il attribue à l'élément d'énergie en question la grandeur
h/tau,
où h est une constante.
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formule suivante pour la fonction du rayonnement:
F(lambda,T) = ((8*Pi*c*h)/(lambda^5))*(1/(exp((3*c*h)/(2*alpha*lambda*T)) - 1)).
Cette équation montre un accord très satisfaisant avec les résultats expérimentaux
de LUMMER et PRINGSHEIM. Elle a la forme de la formule (3), et elle conduit
à un maximum de F pour une valeur de
la température.
Pour de grandes valeurs de la longueur d'onde, on peut remplacer
exp((3*c*h)/(2*alpha*lambda*T))
par
(3*c*h)/(2*alpha*lambda*T),
et la formule de PLANCK devient identique à celle qu'on trouve par la méthode de
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curieux, mais malheureusement il n'existe que pour les grandes longueurs d'onde.
Selon la théorie que je vous ai présentée, la formule (16) devrait être vraie pour
toutes les longueurs d'onde au dessus de la valeur que j'ai nommée
limite qu'on obtient en faisant diminuer de plus en plus cette dernière, l'équation
devrait même s'appliquer à toutes les longueurs d'onde, si petites qu'elles soient.
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que nous avons trouvée rentre dans la forme générale (3), mais il n'y a plus de
maximum, et si l'on étend l'intégrale de la fonction à toutes les longueurs d'onde,
de 0 à
avec un corps d'une température donnée, l'éther devrait contenir une quantité
infinie d'énergie; en d'autres termes, si on commence par un corps doué d'une quantité
finie d'énergie, cette dernière se dissiperait entièrement dans l'éther. Nous pouvons
ajouter qu'à la longue elle s'y trouverait sous forme d'ondes excessivement
courtes, et que même, parce que le produit
qui correspond aux longueurs d'onde au dessus de quelque valeur fixe arbitrairement
choisie tendrait vers 0.
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que le théorème de 1' « equipartition of energy », sur lequel il s'était fondé, est
inapplicable à l'éther, et qu'ainsi on pourrait trouver un vrai maximum de la fonction
F(
et qu'on ne pourra échapper aux conclusions de JEANS à moins qu'on ne modifie
profondément les hypothèses fondamentales de la théorie. Du reste, on serait conduit
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forme
F(lambda,T) = ((16*Pi*alpha*T)/(3*(lambda^4))),
peut être considéré comme définitivement acquis. Si on compare avec cette formule
les mesures faites sur
universelle a. Cela nous donne la valeur aT de l'énergie moyenne d'une molécule
gazeuse à la
du mouvement calorifique, la masse des molécules et atomes. C'est M. PLANCK qui,
le premier, a montré la possibilité de ces calculs, dont le résultat s'accorde admirablement
avec les nombres obtenus par des méthodes entièrement différentes.
On voit aussi que l'énigme posée par le fait que la fonction F(
des propriétés spéciales des corps n'est pas restée sans solution; c'est
l'énergie d'agitation des particules constituantes, représentée par
l'intensité du rayonnement dans l'éther.
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de la plus haute importance.
n'y a pas d'autre constante que le seul coefficient a, peut rendre compte du maximum
dans la courbe du rayonnement que l e s expériences ont mis en évidence. L'explication
donnée par JEANS — et c'est bien
dire que ce maximum a été illusoire; si on a cru l'observer, ce serait parce qu'on
n'avait pas réussi à réaliser un corps qui fût noir pour les petites longueurs d'onde.
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Supposons qu'un électron, se mouvant le long d'une ligne droite, soit repoussé par
un point fixe de cette ligne avec une force inversement proportionnelle au cube de
la distance x. Nous pouvons poser alors, en choisissant convenablement le moment t = 0,
x = sqrt((a^2) + (b^2)*(t^2)),
où a et b sont des constantes positives, et
(17) (d^2)(x)/d(t^2) = ((a^2)*(b^2))/(sqrt(((a^2) + (b^2)*(t^2))^3))
C'est cette accélération qui produit le rayonnement, et pour décomposer ce dernier
en des parties qui se distinguent par la longueur d'onde, nous devons développer
la fonction (17) à l'aide du théorème de FOURIER. Or, si on veut déterminer l'amplitude
des vibrations de la fréquence n, c'est-à-dire de la longueur d'onde
on est conduit à l'intégrale
qui tend vers la valeur
(1/(a*(b^2)))*(sqrt((Pi*b*n)/(2*a)))*exp(-((a*n)/b)),
pour de grandes valeurs de n. À
par devenir extrêmement petite. Il est permis de présumer qu'on obtiendra un résultat
semblable lorsqu'un électron se meut sous l'influence d'une force suivant une loi différente,
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la fonction du rayonnement permettront une décision entre les deux théories.
'''NOTE ADDITIONNELLE.'''
Quelque temps après le Congrès, M. W. WIEN a eu l'obligeance de me faire
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Du reste, on peut faire ressortir l'insuffisance de la théorie de JEANS par un
calcul bien simple. Prenons, par exemple, le cas d'une plaque polie en argent, ayant
la température de 15°, et comparons, pour la lumière jaune, le pouvoir
de ce corps à celui (
normale, l'argent poli réfléchit environ
absorbant est donc égal à
pouvoir émissif d'un corps noir à 15°. D'un autre côté, la formule (16) exige que,
pour une longueur d'onde déterminée, le pouvoir émissif
la température absolue, d'où l'on déduit E(3) = (288/1473)*(E(2)) = (1/5)*(E(2)) et, par conséquent,
E(1) = (1/50)*(E(2)).
Or, à la température de 1200°, un corps noir (dont le pouvoir émissif surpasse
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émettent beaucoup moins de lumière, en proportion de leur pouvoir absorbant, que
ne le demande la théorie de JEANS. Cela nous prouve que la théorie qui se base
sur les équations ordinaires de l'électrodynamique et sur le théorème de
of energy», doit être profondément remaniée; on devra introduire l'hypothèse
de particules rayonnantes, telles que les résonateurs de PLANCK, auxquelles, pour
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applicables.
(
l'unité. (Voir LUMMER et PRINGSHEIM, Physikalische Zeitschrift, 9, 1908, p. 449).
Il ne faut pas croire, cependant, qu'en adoptant cette manière de voir, on puisse
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d'après, lesquelles il ne peut y avoir qu'un seul état d'équilibre.
On pourra peut être éviter cette contradiction en se
toujours des petites longueurs d'onde — l'échange d'énergie qui s'opère par l'intermède
des résonateurs comme beaucoup plus rapide que celui qui est dû aux électrons
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* Hendrik Antoon LORENTZ.
* Source: International Mathematical Union
* Mise en page par Paul-Eric Langevin
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