« Notice sur les travaux scientifiques de Henri Poincaré » : différence entre les versions

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'''1I. - Généralités.'''
 
Dès que les principes du Calcul infinitésimal furent établis, l'analyste se
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Les résultats déjà obtenus faisaient dès lors pressentir quel intérêt il y aurait
Qà déterminer les coefficients du groupe d'une équation linéaire en fonction des
coefficients de l'équation elle-même (33, 35, 68). Ce problème n'était pas nouveau
et il avait déjà fait l'objet des travaux de divers mathématiciens allemands,
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entrent les séries thêta à plusieurs variables.
 
'''III. - Intégration des équations linéaires par les fonctions algébriques et abéliennes.'''
 
Bien que le problème de l'intégration des équations linéaires soit résolu dans
le cas général par l'emploi de nos transccndantestranscendantes nouvelles, ce résultat laisse
subsister tout entier l'intérêt qui s'attache aux cas particuliers où l'intégration
peut se faire au moyen de fonctions plus simples, telles que les fonctions algébriques,
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que cette méthode jette quelque lumière sur les difficultés qui se rapportent à
l'emploi des procédés particuliers. En ce qui concerne la recherche des cas
d'in tégrabilitéintégrabilité algébrique, le premier problème à résoudre était de former les
groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire. Ce résultat a été obtenu
par AIM. Jordan il y a quelques années; mais je ne crois pas que ce savant ait
démontré qu'à tout groupe d'ordre fini correspond une équation linéaire intégrable
algébriquement. L'emploi des fonctions fuclisiennesfuchsiennes m'a fait voir aisément (39)
qu'à tout groupe d'ordre fini correspond, non pas une, mais une infinité d'équations
dont les intégrales sont algébriques. Pénétrant ensuite plus profondément
dans la question, j'ai cherché à quelles conditions une fonction algébrique dont
on se donne le groupe de GalloisGalois satisfait à une équation linéaire d'orclrepordre p. J'ai
trouvé que certains déterminants dont les éléments s'expriment tantôt à l'aide
des racines de l'unité, tantôt à l'aide des périodes des intégrales abéliennes de
première eespèce ~ p è c eco rrespondantcorrespondant à la fonction algébrique considérée, devaient êtrcêtre
nuls à la fois. D'autre part, on peut, sauf dans certains cas exceptionnels, trouver
un système fondamental d'intégrales de première espèce, tel que les périodes
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entiers des périodes normales de la première. Je fus ainsi conduit à
exprimer la condition cherchée sous la forme de certaines relations entre les
périodes normales des intégrales de pmmièrepremière espèce qu'on peut former avec la
fonction algébrique considérée.
 
Au contraire, les procédés d'intégration par les fonctions abéliennes ne rmtren trentrent
pas dans la méthode générale. On y est conduit en chercliantcherchant à généraliser les mkthodesméthodes
d'intégration par les fonctions elliptiques (9). On sait que la théorie des
fonctions elliptiques permet de calculer les intégrales des équations linéaires du
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1) Lorsque, les coefficients étant rationnels, il y a trois points singuliers tels
que la différence des racines des trois équations déterminantes soit respcctiwmentrespectivement
$1/2, +1/3 et +1/6, ou bien $1/2, d1/4 et $1/4, ou bien encore +1/2, +1/3 et 51/3.
 
2) Lorsque, les coefficients étant rationnels, il y a quatre points singuliers
tels que la différence des racines de chaque équation déterminante soit i1/2;
 
3) Lorsque, les coefficients étant doublement périodiques, les intégrales n'offrent
d'autre singularité que des pôles.
 
M. Appel1 a généralisé le troisièinetroisième cas en montrant que, lorsque le groupe de
l'équation linéaire se réduit à un faisceau, la dérivée logarithmique de certaines
intégrales est algébrique et que l'intégration peut s'effectuer par les fonctions
abéliennes. J'ai voulu de même généraliser le premier et le second cas.
 
Je suis arrivé ainsi à une infinité d'équationiéquations linéaires du troisième ordre iià
coefficients algébriques dont les intégrales s'expriment à l'aide des fonctions
abéliennes de deux variables. De même, les fonctions abéliennes à p variables
permettent d'intégrer une infinité d'équations linéaires d'ordre p + I 1.
J'ai indiqué ensuite succinctement les principales propriétés des groupes de
ces équations.
 
'''IV. - Equations non linéaires.'''
 
11Il resterait a faire pour les équations non linéaires ce que j'ai fait pour les
équations linéaires, c'est-à-dire trouver des développemei-itsdéveloppements des intégrales qui
soient toujours convergents. Je n'ai pu y parvenir; j'ai seulement reconnu que
l'on peut, d'une infinité de manières, exprimer ces intégrales par des séries qui
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Je mets les équations différentielles sous la forme
 
(dx(1))/(X(1)) = (dx(2))/(X(2)) = ... = (dx(n))/(X(n)),
les X, étant des polynômes entiers par rapport aux variables x. Cela est toujours
 
les X(n) étant des polynômes entiers par rapport aux variables x. Cela est toujours
possible. J'introcluis ensuite une variable auxiliaire s définie par l'équation
 
Je puis alors démontrer quc si a est convenablement choisi, les variables x
(dx(1))/(X(1)) = (dx(2))/(X(2)) = ... = (dx(n))/(X(n)) = (ds)/(((X(1))^2) + ((X(2))^2) + ... + ((X(n))^2) + 1).
peuvent SC développer suivant les puissances c.roissantes de
 
et que les développements restent valables pour toutes les valeurs réelles de S.
Je puis alors démontrer que si a est convenablement choisi, les variables x
peuvent se développer suivant les puissances croissantes de
 
(exp(alpha*s) - 1)/(exp(alpha*s) + 1),
 
et que les développements restent valables pour toutes les valeurs réelles de s.
 
Si l'on applique ce qui précède au problème des trois corps, on verra que,
quand s varie de - CCinfini à i-m+infini, t varie de - ccinfini à + minfini, de sorte que les développements
restent convergents pour toutes les valeurs réelles du temps. Il n'y aurait
d'exception que dans l'hypothèse, assez peu vraisemblable d'ailleurs, où deux
corps viendraient se clioquerchoquer à l'époque t,(0), et les développements ne nous apprendraient
rien sur ce qui se passerait après l'époque du choc; le problème
d'ailleurs ne se pose même pas. Si de plus on suppose que les élhnentséléments initiaux
aient été choisis de telle sorte que les distances mutuelles restent constamment
supérieures à une limite donnée, on peut remplacer la variable auxiliaire s par
le temps lui-même et développer suivant les puissances de
 
(exp(alpha*t) - 1)/(exp(alpha*t) + 1).
 
Ainsi que je l'ai dit plus haut, je n'ai donné cette solution qu'à titre
d'exemple.
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qui avaient réussi pour les équations linéaires n'étaient pas applicables
à d'autres classes d'équations, quoiqu'elles ne le fussent pas dans le cas général.
Un peu de réflexion fait tout de suite comprendre quelle est la diffkrencedifférence
essentielle entre le cas général et celui des équations linéaires. Les équations
linéaires n'ont qu'un nombre fini de points singuliers, tandis que les équations
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nombre fini.
 
RIM. FuclisFuchs a publié, dans les SitzunpbenichteSitzungsberichte de l'Académie de Berlin, un
Mémoire où il expose les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une
équation différentielle et, eiien particulier, pour qu'une équation du premier
ordre n'ait qu'un nombre fini de points singuliers. On put croire un instant que
l'on était sur la voie d'une nouvelle catégorie de transcendantes uniformes et
d'une nouvelle classe d'équations intégrahlesintégrables.
 
Je fus donc amené à faire un examen plus approfondi de la question (47, 70);
mais cet examen m'obligea à renoncer à l'espoir que j'avais conçu. Les équations
du premier ordre qui satisfont aux conditions de 13M. Fuchs, ou bien se ramènent
à l'équation de Riccati et par elle aux équations linéaires, ou bien sont
intégrables par les fonctions elliptiques ou algébriques. On n'est donc jamais
conduit a une classe réellement nouvelle d'équations intégrables. Peut-être
sera-t-on plus heureux yiiandquand on passera aux équations d'ordre supérieur, mais
cela est encore très douteux ('1).
 
Quoi qu'il en soit, le résultat de M. FuclisFuchs conserve encore son intérêt, puisqu'il
nous f'aitfait connaître une catégorie d'équations différentielles intégrables
algébriquement. Mais, en tout cas, le problème de l'intégration des équations
non linéaires ne peut être regardé comme rksoluabsolu.
 
'''V. - Courbes définies par les équations différentielles.'''
 
Alors mémemême qu'on parviendmitparviendrait à faire pour une équation quelconque ce que
j'ai fait pour les équations linéaires, c'est-à-dire a trouver des développeinentsdéveloppements
des intégrables valables dans toute l'étendue du plan, ce ne serait pas une raison
pour laisser de côté les résultats que l'on peut obtenir par d'autrssautres méthodes,
car il peut arriver que ces méthodes nous fassent découvrir certaines particularités
que les développements ne mettraient pas immédiatement en évidence.
C'est ce qui m'a décidé a me placer à un point de vue nouveau et je ne saurais
mieux le faire comprendre qu'en reproduisant ce que j'écrivais au moment oii jcje
commentais ces recherches (2):
 
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classes déjà connues d'équations intégrables, même lorsqu'elles sont d'ordre supérieur.
 
(2) JJournal o u r t~dd ede Liouville, 3"3ème série, t. VII.
 
« Il est donc nécessaire d'étudier les fonctions définies par des équations différentielles
en elles-mêmes et sans chercher à les ramener à des fonctions plus
simples, ainsi qu'on a fait pour les fonctions algébriques, qu'on avait cliercliécherché à
ramener à des radicaux et qu'on étudie maintenant directement, ainsi qu'on a fait
pour les intégrales de différentielles algébriques, qu'on s'est efforcé longtemps
d'exprimer en termes finis.
 
1) Rechercher quelles sont les propriétés des équations différentiellcsdifférentielles est donc
une question du plus haut intérêt. On a déjà fait un premier pas dans cct.t,ecette voicvoie
en étudiant la fonction proposée dansledans le voisinage d'un despointsdes points du duplanplan. II s'agit
aujourd'hui d'aller plus loin et d'étudier cette fonction clansdans touletoute l'étendue du
plan. Dans cette recherche, notre point de départ sera évidemment ce que l'on
sait déjà de la fonction étudiée dans une certaine région duplandu plan.
 
2) L'étude complète d'une fonction comprend deux parties:
 
* 1) partie qualitative (pour ainsi dire), ou étude géométrique de la courbe définie par la fonction ;
 
* 2) partie quantitative, ou calcul numérique des valeurs de la fonction.
 
» Ainsi, par exemple, pour étudier une équation algébrique, on commence par
rechercher, à l'aide cludu théorème de Sturm, quel est le nombre des racines réelles :
c'est la partie qualitative; puis on calcule la valeur numérique de ces racines, ce
qui constitue l'étude quantitative de l'équation. De même, pour étudier une courbe
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C'est naturellement par la partie qualitative qu'on doit aborder la théorie de
toute fonction et c'est pourquoi le problème qui se présente en premier lieu est
le suivant : Construireconstruire les courbes d@niesdéfinies par des équations dzflrentiellesdifférentielles.
 
)) Cette étude qualitative, quand elle sera faite complètement, sera de la plus
çrandcgrande utilité pour le calcul numérique de la fonction, et elle y conduira d'autant
plus facilement que l'on connaît déjà des séries convergentes qui représentent la
fonction cheichéecherchée dans une certaine région du plan, et que la principale difficulté
qui se présente est de trouver un guide sûr pour passer d'une région où la fonction
est représentée par une série à une autre région du plan où elle est exprimable
par une série différente ('1).
 
N D'ailleurs cette étude qualitative aura par elle-même un intérêt de premier
ordre. Diverses questions fort importantes d'Analyse et de llécaniqueMécanique peuvent en
 
(1) Ces considérations m'ont effectivement servi de guide dans des reclierchesrecherches relatives au calcul numérique de la fonction (23).
de la fonction (23).
 
effet s'y ramener. Prenons pour exemple le problème des trois corps : ne peutonpeut-on
pas se demander si l'un des corps restera toujours dans une certaine région
du ciel ou bien s'il pourra s'éloigner indéfiniment; si la distance de deux corps
augmentcraaugmentera, ou diminuera a l'infini, ou bien si elle restera comprise entre certaines
limites? Ne peut-on pas se poser mille questions de ce genre, qui seront
toutes résolues quand on saura cons~ruiconstruire req ualitativementqualitativement les trajectoires des
trois corps? Et, si l'on considère un nombre plus grand de corps, qu'est-ce que
la question de l'invariabilité des éléments des planètes, sinon une véritable
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limites?
 
)) Tel est le vaste champ de découvertes qui s'ouvre devant les géomètres. Je n'ai
pas eu la prétention de le parcourir tout entier, mais j'ai voulu du moins en franchir
les frontières, et je me suis restreint à un cas très particulier, celui qui se
présente d'abord tout naturellement, c'est-à-dire à l'étude des équations diKérentiellesdifférentielles
du premier ordre et du premier degré. ))
 
Je commençai donc mes recherches (2, 73) par l'étude des courbes définies
par les équations différentielles de la forme
 
(1) dx/X = dy/Y,
 
où X et Y sont des polynômes entiers en x et y, et je recorinusreconnus d'abord que ccsces
courbes pouvaient représenter la forme de courbes fermées ou celle de spirales.
Je démontrai également le théorème suivant :
 
Si une courbe &'finiedéfinie pur une équation de lula forme (1) n'a pas de point d'anftarrêt et
ne coupe aucune cozcrbecourbe algébrique qu'en un nombre fini (IEde pgintspoints réels, elle est une
corirbecourbe fermée.
 
Pour pousser plus loin l'étude de la forme de ces courbes, j'ai dû commencer
par rechercher ce qui se passe dans le voisinage d'un point singulier quelconque.
En réalité, le problème était ~résolu ~ S OpIaUrpar les travaux antérieurs de PIJSIMM. Briot ctet
Bouquet et par les nliensmiens (Journal de Zl'EcoZeEcole PoZytechniquePolytechnique, XLVe Cahier, et TlièseThèse
inaugurale), mais j'avais à approprier la solution à inonmon nouveau but; dans les *
Mémoires que je viens de citer, et où je me plaçais ail point de vue de la théorie
des fonctions, j'attachais une égale importance au réel et à l'imaginaire. Pour
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J'ai donné à ces quatre sortes les noms suivants :
 
IO* 1) Les cols, par lesquels passent deux courbes définies par l'équation et cleuxdeux
seulement ;
seiilemen t ;
 
* 2") Les noeuds, où viennent se croiser une infinité de courbes définies par l'équation;
 
* 3") Les foyers, autour desquels ces courbes Lournenttournent en s'en rapprocliantrapprochant sans
cesse à la façon d'une spirale lopritlimiquelogarithmique;
 
* 4") Les centres, autour desquels ces courbes se présentent sous la forme de
cycles fermés s'enveloppant mutuellement et enveloppant le centre. (On ne rencontre
les centres que dans des cas très exceptionnels.)
 
J'ai étudié ensuite la distri butiondistribution de ces divers points singuliers dans le plan.
 
J'ai montré ainsi qu'il y en avait toujours (à distance finie ou infinie) et qu'il y
avait toujours une relalionrelation simple entre le nombre des cols, des noeuds, des foyers
et des centres, et que, sur la courbe X = O 0, les cols ou les nmudsnoeuds et fojersfoyers se
succédaient alternativement.
 
Ces problèmes résolus, je me suis occupé des contacts que peut avoir une
courbe algébrique donnée avec les courbes définies par l'équation ( r 1) et l'ai vu
que, dans un très grand nombre de cas, il existe des brancliesbranches de courbes fermées
qui ne touchent en aucun point aucune des courbes qui satisfont à notre équation
différentielle. Je les ai appelées cycles sans contact (74).
 
Il est facile de comprendre l'importance de la détermination des cycles sans
contact; on voit aisément en effet qu'une courbe définie par l'équation ( r 1) ne
peut rencontrer un pareil cycle en plus d'un point. Si donc on imagine un point
mobile décrivant notre courbe, diisdès qu'il sera sorti d'un cycle sans contact, il n'y
pourra plus rentrer. En d'autres termes, si ce point a occupé une fois une position
donnée, il ne pourra plus jamais y revrnirrevenir, ni même revenir dans lcle voisinage
immédiat de cette position. Les coordonnées du point n'oscilleront pas entre certaines
limites et ne pourront être représentées par des séries trigonométriques,
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jouent un rôle capital dans cette théorie : ce sont les cycles limites. J'appelle ainsi
les courbes fermées qui satisfont à notre équation différentielle et dont les autres
courbes cléfiniesdéfinies par la même équation se rapprochent asymptotiquement sans
jamais les atteindre. Cette seconde notion n'est pas moins importante que la
première. Supposons en effet que l'on ait tracé un cycle limite; il est clair que
le point mobile dont nous parlions plus liauthaut ne pcurrapourra jamais le franchir et qu'il
restera toujours à l'intérieur de ce cycle, ou toujours à l'extérieur. Il est vrai que
les cycles limites sont en général des courbes transcendantes qu'on ne saurait
tracer exactement. Mais on peut souvent tracer deux courbes algébriques fermkesfermées,
concentriques l'une à l'aut,reautre, déterminant une sorte d'anneau, de telle
faqonfaçon qu'on peut distinguer dans le plan trois régions, l'intérieur de l'anneau, la
région annulaire et l'extérieur de l'anneau. Supposons que l'on ait démontré
d'une manière quelconque que le cycle limite se trouve dans la région annulaire ;
on sera certain alors que, si notre point niobilemobile est a l'intérieur de l'anneau, il ne
pourra jamais aller à l'extérieur de cet anneau. On peut donc, malgré Il'instabi/i~éinstabilité
de ce point mohilemobile, assigner des limites supérieures à ses coordonnées.
 
Je reconnus ensuite qu'on pouvait dans tous les cas sillonner le plan par une
infinité de courbes fermées, s'enveloppant mutuellement et rappelant par leur
forme et leur disposition les courbes de niveau d'un plan topographique. Pour
poursuivre cette comparaison, je dirai que, dans ce plan topograpliiquetopographique, les sommets
et les fonds seraient représentés par les noeuds et les foyers, et les cols par
les points singuliers que j'ai appelés plus liauthaut de ce nom. Parmi ces courbes
ferniéesfermées, les unes sont des cycles sans contact, les autres sont des cyclcscycles limites.
A par1part ces cycles limites, les courbes définies par notre équation différentielle
sont des spirales se rapproclianrapprochant t asymptotiquemen tasymptotiquement des points singuliers et des
cycles limites.
 
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limite, et un seul.
 
A la fin du RSémoiremémoire, j'ai donné plusieurs exemples d'applications de cettccette
méthode. Je citerai seulement le dernier de ces exemples, celui de l'équation
J'ai divisé le plan en quatre régions, limitées par les trois cercles (')
 
dx/(-y + x*(x^2 + y^2 -2*x -3)*(x^2 + y^2 -2*x -8)) = dy/(x + y*(x^2 + y^2 -2*x -3)*(x^2 + y^2 -2*x -8)).
(1) De telle façon que la première région soit intérieure au premier des cercles (z), la deuxième comprise
entre le premier et le deuxième de ces cercles, la troisième comprise entre le deuxième et le troisibme,
et Ia quatrième région extérieure au troisième cercle.
 
qui sJ'enveloppentai mutuellement.divisé Dele cesplan en quatre régions, lalimitées par deusikineles ettrois lacercles troisième(1)
 
contiennent un cycle limite et n'en contiennent qu'un, les deus autres n'en
(2) x^2 + y^2 = 1; x^2 + y^2 = 2*x + 5,5; x^2 + y^2 = 16;
contiennent pas. 11 suit de là que si, à l'origine des tcmps, notre point inobile
 
est à l'intérieur du premier des cerclcs (2). il ne pourra jamais sortir du second
qui s'enveloppent mutuellement.
 
(1) De telle façon que la première région soit intérieure au premier des cercles (2), la deuxième comprise entre le premier et le deuxième de ces cercles, la troisième comprise entre le deuxième et le troisième, et la quatrième région extérieure au troisième cercle.
 
De ces quatre régions, la deuxième et la troisième
contiennent un cycle limite et n'en contiennent qu'un, les deux autres n'en
contiennent pas. Il suit de là que si, à l'origine des temps, notre point mobile
est à l'intérieur du premier des cercles (2). il ne pourra jamais sortir du second
et que, s'il est à l'intérieur du second, il ne pourra jamais sortir du troisième.
 
Il y a un cas particulier qui mérite de fixer l'attention, bien qu'il ne se présente
que très exceptionnellen~entexceptionnellement: c'est celui où toutes les courbes définies par
l'équation ( r 1) sont des courbes fermées qui s'enveloppent mutuellement à la
façon des courbes de niveau d'un plan topograpliiquetopographique. C'est là le seul cas où,
pour employer de nouveau une comparaison empruntée à l'iistronon~ieastronomie, le point
mobile dont il a été question plus haut a une orbite stable. C'est le seul cas, en
effet, où l'on ne puisse pas sillonner le plan de cycles sans contact (75).
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l'on pourrait croire d'abord qu'il est impossible de reconnaître si elles sont toutes
remplies à la fois. Cela est, au contraire, le plus souvent très facile, et l'on démontre
apn'oriquea priori que ces conditions doivent être toutes satisfaites, dans un certain
nombre de cas, et, en particulier, quand on a
 
dX/dx + dY/dy = 0.
 
J'ai appliqué ces principes à une équation différentielle rencontrée par Delaunay
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supérieur de la forme suivante
 
(3) F(x, y, (dy/dx)) = 0,
dv F désignant un polynôme entier en x, y e t 2-Po ur étudier plus facilement
 
cette équation, j'emploie trois variables auxiliaires E, y, C, liées aux variables
F désignant un polynôme entier en x, y et (dy/dx). Pour étudier plus facilement
primitives, d e telle façon que x, y e t ;Ci~ïY soient des fonctions rationnelles de E,
7cette et 1équation, et je considère cesj'emploie trois variables commeauxiliaires lesksi, coordonnéeseta, d'unzeta, pointliées aux variables
primitives, de telle façon que x, y et (dy/dx) soient des fonctions rationnelles de ksi,
eta et zeta, et je considère ces trois variables comme les coordonnées d'un point
dans l'espace. L'équation (3) signifie alors que ce point est situé sur une certaine
surface algébrique. J'ai soin de choisir mes nouvelles variables, clede telle
façon que cette surface n'ait pas de nappes infinies et se réduise à un certain
nomhrenombre de nappes fermées. J'envisage en particulier une de ces nappes, que
j'appelle S. Grâce aux conventions faites, par chaque point non singulier de S
passera une courbe définie par l'équation (3) et une seule. Quant aux points
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Une notion qui joue ici un rôle capital, c'est le genre de la nappe S. Je dirai
que cette nappe est de genre O 0, si elle est convexe à la façon d'une sphère; de
genre 1, si elle présente un trou à la façon d'un tore; de genre 2, si elle présente
deux trous, etc.
 
J'ai démontré une relation très simple entre le genre de cette nappe et le
noinhrenombre des cols, des foyers et des noeuds qui s'y trouvent. C'est la généralisation
d'une relation dont j'ai parlé plus liauthaut et qui s'applique aux équations du
premier ordre et du premier degré.
 
La suite de la discussion est d'ailleurs tout à fait la mEmemême que pour les
courbes définies par l'équation (I1), c'est-à-dire par une équation du premier
degré. La nappe S est sillonnée d'une infinité de courbes fermées, qui sont des
cycles sans contact ou des cycles limites; il y a toutefois une différence essentielle
sur laquelle je désirerais appeler l'attention. Supposons, par exenipleexemple,
que la nappe S soit un tore et qu'un cercle méridien de ce tore soit un cycle
sans contact; contrairement à ce que nous avons remarqué dans le cas des
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D'ailleurs les points, en nombre infini, où le point mobile vient successivement
rencontrer le cercle méridien, jouissent d'une propriété arithmétique inattendue.
-4ppelons p un certain nombre incommensurable; appelons AIi le point où le
point mobile vient rencontrer pour la Pefo is le cercle méridien. Cherchons
dans quel ordre circulaire ces points Mi se rencontrent sur ce cercle. C'et ordre
sera le méme que celui des nombres pi - E (pi).
 
Appelons mu un certain nombre incommensurable; appelons M(i) le point où le
Passons maintenant (22'76) aux équations du second ordre, que j'écrirai sous
point mobile vient rencontrer pour la (i)ème fois le cercle méridien. Cherchons
dans quel ordre circulaire ces points M(i) se rencontrent sur ce cercle. Cet ordre
sera le même que celui des nombres mu(i) - E(mu(i)).
 
Passons maintenant (22,76) aux équations du second ordre, que j'écrirai sous
la forme suivante
 
dx/X = dy/Y = dz/Z,
X, Y et Z désignant des polynômes entiers en x, y et a, et les variables x, y e t c
 
X, Y et Z désignant des polynômes entiers en x, y et z, et les variables x, y et z
étant regardées comme les coordonnées d'un point dans l'espace. Nous pouvons
alors étudier les courbes qui satisfont à ces équations et que j'appellerai les
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courbe C et une seule, si toutefois on excepte les points singuliers, c'est-à-dire
les points d'intersection des trois surfaces
 
X = 0; Y = 0; Z = 0.
 
L'étude de ces points singuliers s'imposait tout d'abord. Je reconnus qu'il y
en a de quatre sortes (sans parler des points singuliers qui ne se renconirentrencontrent
que très exceptionnellement, par exemple, les centres) :
 
r0* 1) Les noeuds, où viennent converger toutes celles des courbes C qui passent assez près du point singulier;
assez près du point singulier;
 
20* 2) Les cols, où viennent converger une infinité de ces courbes dont l'ensemble forme une surface et où passe, en outre, une autre courbe satisfaisant à l'équation et non située sur cette surface ;
forme une surface et où passe, en outre, une autre courbe satisfaisant à l'équation
et non située sur cette surface ;
 
30* 3) Les foyers, où passe une courbe C et une seule, pendant que les autres courbes se rapprochent asymptotiquement du point singulier à la façon des spirales;
courl~ess e rapprochent asymptotiquement du point singulier à Ja façon des spirales;
 
404) Les cols foyers, par lesquels passe une courbe C et une seule, pendant qu'une infinité d'autres, dont l'ensemble forme une surface, se rapprochent asymptotiquement du point singulier.
qu'une infinité d'autres, dont l'ensemble forme une surface, se rapprochent
asymptotiqueinent du point singulier.
 
J'ai étudié également le cas où les trois surfaces (5) ont une courl~eccourbe ommunecommune
qui devient alors une ligne singulieresingulière. J'ai reconnu que les différents points d'une
ligne singulière ont des propriétés analogues à celles des points singuliers ordinaires
dont nous venons de parler.
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Néanmoins un assez grand nombre de propriétés des équations du premier
ordre s'étendent à celles du second. Les surfaces sans contact sont tout à fait analogues
aux cjclescycles sans contact, et l'on peut démontrer, par exemple, qu'à l'intérieur
de toute surface sans contact (si elles ne sont pas triplement connexes)
il y a toujours des points singuliers.
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aussi profondément dans la connaissance des courbes C. Il faut introduire,
en outre, une notion nouvelle qui joue, dans une certaine mesure, le même rôle
que les points singuliers. Soient CoC(0) une courbe fermée quelconque satisfaisant à
notre éqiiationéquation, et D un domaine comprenant tous les points suffisamment voisins
de Co C(0); nous pouvons étudier la forme et la disposition générale des courbes C
à l'intérieur de ce domaine. On reconnaîtra ainsi, indépendamment d'un grand
nombre de cas moins importants, quatre cas principaux, qui sont les suivants:
 
IO* 1) On peut faire passer par la courbe CoC(0) deux surfaces que l'on peut sillonner par une infinité de courbes C satisfaisant aux équations (4). Les autres courbes C, après être entrées dans le domaine D et s'être rapprochées de C(0), s'en éloignent
ensuite et finissent par sortir du domaine. Je n'ai rien à ajouter sur ce premier cas, qui nous apprend peu de chose sur les propriétés de nos courbes.
par une infinité de courbes C satisfaisant aux équations (4). Les autres courbes C,
après être entrées dans le domaine D et s'être rapprochées de Co, s'en éloignent
ensuite et finissent par sortir du domaine. Je n'ai rien à ajouter sur ce premier
cas, qui nous apprend peu de chose sur les propriétés de nos courbes.
 
* 2) On peut construire une surface S présentant une forme annulaire analogue à celle du tore, et à l'intérieur de laquelle se trouve la courbe C(0), de la même façon que le cercle, lieu des centres des cercles méridiens, se trouve à l'intérieur d'un tore. De plus, cette surface S n'est tangente en aucun point, à aucune des courbes C : c'est une surface sans contact. Considérons un point mobile décrivant une courbe C; dès qu'il sera sorti de la surface S, il n'y pourra plus rentrer; nous avons donc instabilité, et cela semble être ici le cas général.
2" On peut construire une surface S présentant une forme annulaire analogue
à celle du tore, et à l'intérieur de laquelle se trouve la courhe Co, de la même
façon que le cercle, lieu des centres des cercles méridiens, se trouve à l'intériciir
d'un tore. De plus, cette surface S n'est tangente en aucun point, à aucune des
courbes C : c'est une surface sans contact. Considérons un point mobile décrivant
une courbe C; dès qu'il sera sorti de la surface S, il n'y pourra plus rentrer;
nous avons donc instabilité, et cela semble être ici le cas général.
 
* 3) On peut construire une surface S analogue à celle dont nous venons de parler; mais elle ne sera pas une surface sans contact, elle sera au contraire sillonnée par une infinité de courbes C. Alors, si notre point mobile est situé sur la surface S, il y restera toujours; de plus, s'il part d'une position initiale quelconque, il finira toujours par revenir aussi près que l'on veut de cette position. Son orbite est donc stable.
3" On peut construire une surface S analogue à celle dont nous venons dc
parler; mais elle ne sera pas une surface sans contact, elle sera au contraire sillonnée
par une infinité de courbes C. Alors, si notre point mobile est situé sur
la surface S, il y restera toujours; de plus, s'il part d'une position initiale quelconque,
il finira toujours par revenir aussi près que l'on veut de cette position.
Son orbite est donc stable.
 
* 4) Dans le quatrième cas enfin, le point mobile peut aller aussi près que l'on veut d'un point quelconque du domaine D, et, s'il part d'une position initiale donnée, il finira toujours par revenir aussi près que l'on veut de cette position. Dans ce sens, il y a donc stabilité, et la démonstration de cette stabilité serait complète, si l'on savait assigner des limites aux coordonnées du point mobile. Malheureusement, mes méthodes ne me permettent presque jamais de distinguer le troisième cas du quatrième, ni, dans le quatrième, de trouver les limites entre lesquelles les coordonnées du point mobile restent comprises. C'est là une lacune importante que jusqu'ici j'ai vainement essayé de combler.
4" Dans le quatrième cas enfin, le point mobile peut aller aussi près que l'on
veut d'un point quelconque du domaine D, et, s'il part d'une position initiale
donnée, il finira toujours par revenir aussi près que l'on veut de cette position.
Dans ce sens, il y a donc stabilité, et la démonstration de cette stabilité serait
complète, si l'on savait assigner des limites aux coordonnées du point mobile.
Rlalheureusement, mes méthodes ne me permettent presque jamais de distinguer
le troisième cas du quatrième, ni, dans le quatrième, de trouver les limites
entre lesquelles les coordonnées du point mobile restent comprises. C'est là
une lacune importante que jusqu'ici j'ai vainement essayé de combler.
 
Ce troisième et ce quatrième cas ne se présentent que si X, Y et %Z satisfont à
une infinité de conditions, de sorte qu'ils semblent d'abord très exceptionnels.
Ils ont néanmoins une grande importance pratique. On peut d'ailleurs démontrer
qu'ils se présenteront toujours si le dernier multiplicateur M, défini par l'&quationéquation
est toujours uniforme et positif dans le domaine considéré. Or cette circonstance
se rencontre précisément dans la plupart des applications,
 
Pour &tendreétendre les résultats précédents aux équations d'ordre supérieur au second,
il faut renoncer à la représentation géomét,riquegéométrique qui nous a été si commode,
à moins d'employer le langage de l'liyperg6ométriehyper-géométrie à n dimensions. RIaisMais ce langage
est si peu familier à la plupart des géomètres qu'on perdrait ainsi les principaux
avantages que l'on peut attendre de la représentation en question. Les
résultats n'en subsistent pas moins, et l'on retrouve les quatre cas dont nous
avons parlé plus haut. Ce qu'il y a de remarquable, c'est que le troisiémetroisième et le
quatrième cas, c'est-à-dire ceux qui correspondent à la stabilité, se rencontrent
précisément dans les équations générales de la Dynamique. Cette circonstance
doit nous faire d'autant plus désirer de voir se combler la lacune que j'ai signalée
plus liaulhaut.
 
 
 
* DEUXIEME PARTIE.
 
* '''THEORIE DES FONCTIONS.'''
 
DEUXIEME PARTIE.
 
THEORIE DES FONCTIONS.
 
'''VI. - Théorie générale des fonctions d'une variable.'''
 
La théorie des fonctions d'une seule variable complexe a fait dans ces derniers