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« Notice sur les travaux scientifiques de Henri Poincaré » : différence entre les versions

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différentielles à l'aide de séries toujours convergentes, j'étais naturellement
conduit à m'attaquer d'abord aux équations linéaires. Ces équations, en effet,
qui ont été dans ces derniers temps l'objet des travaux de RIRIMM. Fuchs, Thomé,
Frobenius, Schwarz, Klein et HalplienHalphen, étaient les mieux connues de toutes; on
possédait depuis longtemps les développements de leurs intégrales dans le voisinage
d'un point donne'donné et, dans un assez grand nombre de cas, on était parvenu
à Icsles intégrer complètement à l'aide des fonctions anciennement connues. C'était
donc en en abordant l'étude que j'avais le plus de clianceschances d'arriver Bà un
résultat.
rbsultat.
 
Mais il était nécessaire de plus de faire une hypothèse au sujet des coefficients
des équations que je voulais étudier. Si j'avais pris, en effet, pour coefficients
des fonctions quelconqrtesquelconques, j'aurais obtenu également pour les intégrales des Jonclionsfonctions
quelconques et, par conséquent, je n'aurais pu dire quelque chose de précis
au sujet de la nature de ces intégrales, ce qui était mon but. J'étais donc concluitconduit
ià examiner les équations linéaires à coefficients rationnels et algébriques.
Je supposerai, pour simplifier un peu l'exposé qui va suivre, que les coefficients
sont rationnels.
 
TToiciVoici maintenant la classification que j'ai adoptée pour ces équations linéaires
et qui est la plus naturelle au point clede vue du problème que nous voulons résoudre
(27, 69). Soit y une intégrale d'une équation linéaire d'ordre n à coefficient
rationnels. Posons
 
(5) z = exp(sum(lambda*dx))*(F(n-1)*((d^(n-1)(y))/(d(x^(n-1)))) + (d^(n-2)(y))/(d(x^(n-2)))) + ... + F(1)*(dy/dx) + F(0)*y),
A et lesF étant des fonctions rationnelles dex. Il est clair que z satisfera comme y▼
 
A une équation linéaire d'ordre n à coefficients rationnels. Je dirai que ces deux▼
▲Alambda et lesFles F étant des fonctions rationnelles dexde x. Il est clair que z satisfera comme y
Fquations appartiennent à la même famille. On voit aisément, en effet, que la▼
▲Aà une équation linéaire d'ordre n à coefficients rationnels. Je dirai que ces deux
▲Fquationséquations appartiennent à la même famille. On voit aisément, en effet, que la
connaissance des propriétés de la fonction y entraîne celle des propriétés de la
fonction z.
t'onction 5.
 
Il y a clansdans chaque famille une infinité d'équations différentes, mais certaines
fonctions des coefficicntscoefficients ont même valeur pour les équations d'une même
famille; en d'autres termes, il y a, comme je l'ai montré dans ma Note du
22 mai I 8821882, des invariants qui demeurent inaltérés par la substitution ropréseiltéereprésentée
par l'équation ( 5 ) . Ces invariants ne sont pas les mêmes que ceux de
11M. HalplicnHalphen. Ce savant géomètre envisage la transformation qui consiste à remplacer
x par une fonction quelconque de x' et à multiplier y par une autre fonction
quelconque de x'. Au contraire, les fonctions qui entrent dans ma substitution
(5) ne sont pas quelconques, mais rationnelles. Rien ne saurait mieux faire
comprendre la différence du point de vue de RIM. HalplienHalphen eiet du mien. M. HalplienHalphen
cherche avant tout des relations entre diverses intégrales, et il peut impunément
introduire dans ses calculs des fonctions quelconques; au contraire, mon But
étant d'étudier la nature de l 'intégrale int é~r a l ee lleelle-même, cette nature serait évidemment
altérée, si je multipliais l'intkgraleintégrale par une fonction quelconque, comme le fait
M. Halphen.
 
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elliptiques, et l'on ne doit pas s'en étonner, car si j'imaginais ces fonctions nouvelles,
c'était afin de faire pour les équations différentielles linéaires ce qu'on
avait fait à l'aide des séries Othêta elliptiques et abéli.ennesabéliennes, pour les intégrales des
différentielles al@briquesalgébriques.
 
C'est donc l'analogie avec les fonctions elliptiques qui m'a servi de guide dans
toutes mes recliercl-iesrecherches. Les fonctions elliptiques sont des fonctions uniformes
qui nesontne sont pas altérées quand on augmente la variable de certaines périodes.
Cette nolionnotion est tellement utile dans l'Analyse matliématiquemathématique, que tous les géomètres
ont dû penser depuis longtemps qu'il conviendrait de la généraliser en
cherchant des fonctions uniformes d'une variable x qui demeurent inaltérées,
quand on fait subir à cette variable certaines transformations, mais ccsces transformations
ne peuvent pas être choisies d'une manière quelconque. Elles doivent
évidemment former un groupe, et, de plus, oiion ne doit. pas pouvoir trouver dans
ce groupe une transformation infinitésimale, c'est-à-dire qui ne fjssefasse varier x
que d'un infiniment petit. Sans cela, en répétant indéfiniment cette transformation,
on ferait varier x d'une façon continue, et notre fonction uniforme, qui ne
serait pas altérée quand la variable augmenterait d'une manière continue, se réduirait
à une constante. En d'autres termes, notre groupe doit être discon~inudiscontinu
(102, 5, 64). Le premier prclblèmeproblème à résoudre est donc de trouver tous les
groupes discontinus que l'on peut former.
 
Dans le cas des fonctions elliptiques, les transformations du çroupegroupe (qui est
évidemment discontinu) consistent à ajouter à x certaines constantes. Ici encore
une nouvelle analogie avec les fonctions elliptiques peut nous venir en aide.
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groupe, de sorte que la connaissance de la fonction à l'intérieur de l'un des
parallélogrammes entraîne sa connaissance dans tout le plan. De même, si nous
envisageons un groupe discontinu plus coinpliquécompliqué, ensendrantengendrant une transcendante
d'ordre plus élevélélevé, nous pourrons partager le plan (ou la région du plan
où la fonction existe) en une infinité de régions ou de polygones curvilignes, de
telle façon qu'on puisse obtenir toutes ces régions en appliquant à l'une d'elles
toutes les transformations du groupe. La coiinaissanceconnaissance de la fonction à l'intérieur
d'un de ces polygones curvilignes entraîne sa connaissance pour toutes les
valeurs possibles de la variable.
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elliptiques : on considère certaines intégrales appelées de première espèce,
ensuite, par un procédé connu sous le nom d'inversion, on regarde la variable x
conîrnecomme fonction de l'intégrale; la fonction ainsi définie est iiniformeuniforme et doublement
périodique.
 
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d'une intégrale, mais du rapport z des deux intégrales de notre équation. Dans
certains cas, la fonction ainsi définie sera uniforme, et alors elle demeurera inaltérée
par une infinité de substitutions linéaires changeant z en 7c(alpha*z .t+ beta)/(gamma*z t p y& +d delta).
Pour cela, le groupe formé par ces substitutions doit être discontinu, et il est
aisé de voir que les polygones curvilignes dont il a été question plus haut sont
limités par des arcs de cercle. J'ai supposé d'abord que les coefficients des substitutions
(2z, %(alpha*z + beta)/(gamma*z + delta)) étaient réels ou, ce qui revient au même, que ces sulistitutionssubstitutions
n'altéraient pas un certain cercle appelé fondamental. Dans ce cas, les
arcs de cercle qui servent de côtés à nos polygones curvilignes sont ortliogonauxorthogonaux
à ce cercle fondamental.
 
Quelle est alors la condition pour que le groupe engendré par un polygone
curviligne donné soit discontinu? Pour résoudre ce problénieproblème, il y avait à surmonlersurmonter
une clil'ficultédifficulté spéciale que je veux expliquer en quelques mots. Partant
du polygone curviligne générateur, on construit aisément les polygones voisins,
puis les polygones voisins de ceux-ci, et ainsi de suite. On a ainsi une sorte de
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que cette surface ne va pas se recouvrir elle-même partiellement ou totalement,
c'est-à-dire qu'un polygone nouvellement annexé à notre surface ne va pas recouvrir
en partie un polygone anciennement construit. Pour cela, il ne sufitsuffit
pas de remarquer que notre surface est simplement connexe et sans point de
ramification (unverzweigt). Cette façon de raisonner n'est qu'un paralogisme
qui a déjà entraîné quelques savants dans diverses erreurs et qui, dans le problènleproblème
qui nous occupe, nous égarerait certainement. II faut encore faire voir
qucque la surface recouvre une partie du plan qui est elle-même simplement connexe
(le contraire pourrait avoir lieu e t une surface simplement connexe pourrait,
en se recouvrant plusieurs fois elle-même, couvrir une région plane à
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Il s'agit donc de démontrer qu'en construisant successivement tous nos polygones,
comme je l'ai dit plcisplus haut, on ne sortira jamais de ce cercle et qu'o1.i
atteindra forcément un point q~telconquequelconque du cercle. La seconde de ces propositions
m'aurait peut-être arrêté longtemps sans l'aide que j'ai trouvée dans une
théorie fort différente : je veux parler de la Géométrie non euclidienne. CctteCette Géométrie,
fondée sur l'hypothèse que la somme des angles d'un triangle est plus
petite que deux droits, ne semble d'abord qu'un simple jeu [le l'esprit qui n'a
d'intérêt que pour le philosophe, sans pouvoir être d'aucune utilité au matliéinaticienmathématicien.
 
Il n'en est rien; les tliéorèmethéorèmes de la géométrie de LowaclievskiLobatchevski sont aussi
vrais que ceux de la géométrie d'Euclide, à la condition qu'on les interprète
comme ils doivent l'être. Ainsi, par exemple, ces tliéorèmesthéorèmes ne sont pas vrais de
la ligne droite, telle que nous la concevons, mais ils le deviennent si, partout où
LowatschevskiLobatchevski dit « "une droite »", nous disons « "un cercle qui coupe ortliogonalementorthogonalement
le cercle fondamental N". Je me trouvais donc en présence clede toute une
théorie, imaginée, il est vrai, dans un but métaphysique, mais dont chaque proposition,
convenablement interprétée, me fournissait un tliéorèmethéorème applicable à
la Géométrie ordinaire. Il se trouva qu'en combinant tous ces théorèmes, j'obtins
aisément la solution de la difficulté dont j'ai parlé plus haut.
 
Je pus ainsi construire tous les groupes discontinus formés dcde sul~stitutionssubstitutions,
n'altérant pas le cercle fondaimentalfondamental, et je les appelai groupes fucltsiensfuchsiens.
Mais un problème important se posait : étant donné un groupe fuclisienfuchsien,
existe-t-il des fonctions uniformes inaltérées par les substitutions clede ce
groupe (65)? C'est ce que j'ai démontré et j'ai donné à ces fonctions le nom de
M. Fuchs. Pour arriver à ce résultat, il eût été possible, dans certains cas particuliers,
d'appliquer la proposition connue sous le nom deprincke de diprincipe ri chde le^Dirichlet, si
souvent appliquée par Riemann et démontrée plus récemment par RIM. Schwarz.
 
Je ne connaissais pas ce principe à cette époque, mais l'eiisséeussé-je connu, que j eje ne
m'en serais pas servi; car il ne pouvait me donner la solution du problème que
dans certains cas particuliers et, même dans ces cas,il pouvait servir à démontrer
l'existence de la fonction, mais il n'en donnait pas le clévcloppementdéveloppement analgtiqueanalytique.
C'est encore à 1'analo';ieanalogie avec les fonctions elliptiques que j'ai dû faire appel.
 
On sait que ces fonctions peuvent être regardées comme le quotient de deux
transcendantes, non plus seulement uniformes, mais encore entières, c tet que
l'on appelle les séries 8thêta. Les fonctions ne sont plus doublement périodiques, mais
elles sont multipliées par une exponentielle quand la variable augmente d'une
période. De même ici, je devais cliercherchercher à exprimer les fonctions fuclisiennesfuchsiennes
par le quotient de deux transcendantes finicsfinies et uniformes, tout à fait analogues
aux fonctions Othêta, et se reproduisant multipliées par un facteur simple, quand la
variable z subit une des transformations du groupe.
 
Je trouvai aisément des séries satisfaisant à ces conditions et jcje les appelai
thêtajdzsiennesthêta-fuchsiennes. Le quotient de deux pareilles séries était évideinmcntévidemment une fonction
f~iclisiennefuchsienne : j'avais donc du même coup clémontrédémontré l'existence de ces fonctions
et trouvé leur expression analytique. Le quotient de l'unité par une série
tliêtafucl~sienneethêta-fuchsienne st susceptible aussi d'un développen~entsdéveloppement implesimple, et c'est la
considération de ces développements nouveaux qui m'a permis de démontrer
réciproquement que toute fonction fuchsienne peut être regardée comme le quotient
de deux séries thêtafuclisiennesthêta-fuchsiennes.
 
Ces fonctions fuclisiennesfuchsiennes sont de deux sortes, les unes existant dans tout le
plan, les autres n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental. Dans les deux
cas, il y a entre deux fonctions fuclisiennesfuchsiennes qui ont même groupe une relation
algébrique. La détermination du genre de cette relation est d'une importance capitale;
je l'ai obtenue d'abord par des procédés analytiques, et plus simplement
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Grâce à ces relations algébriques, il est possible d'utiliser les fonctions fuchsiennes
pour l'étude des fonctions et des courbes algébriques. Ainsi l'onpeuton peut exprimer
les coordonnées des points d'une courbe algébrique par des fonctions fuchsiennes,
c'est-à-dire uniforrriesuniformes, d'un mêmeparamètremême paramètre. On peut alors se servir de ces
expressions des coordonnées pour arriver à un certain nombre (lede tliéorèmesthéorèmes sur
ces courbes. On peut s'en servir également pour exposer d'une façon plus simple
la théorie des fonctions abéliennes.
 
Si, dans une intégrale abélienne de première espkceespèce, on remplace la variable
par une fonction fuclisiennefuchsienne de az, cette intégrale devient à son tour une fonction
uniforme de z dont on trouve aisément le développement analytique. Ainsi ces
intégrales, qu'on savait déjà obtenir à l'aide des fonctions 0thêta, sont susceptibles
d'une expression analytique entièrement différente, où entrent des transcendantes
ne dépendant que d'une seule variable.
 
Mais ce n'est pas tout. Toute fonclionfonction fuclisiennefuchsienne peut être regardée comme
provenant de Il'inversion d'une équation du second ordre à coefficients algébriques,
c'est-à-dire qu'on peut l'obtenir en regardant la variable x comme fonction
du rapport az des intiigralesintégrales de cetlecette équation. Nos transcendantes nous fournissent
donc immédiatement l'intégration d'une infinité d'équations linéaires que
l'on peut appeler fuchiennesfuchsiennes.
 
Pour que l'analogie avec les fonctions elliptiques fut complète, il faudrait que
les autres propriétèspropriétés de ces fonctions, telles que les lois d'addition, de multiplication
et de transformation pussent s'étendre aux nouvelles transcendantes.
 
La théorie de la transfornlationtransformation se généralise immédiatement, avec cette différence
toutefois que le groupe des fonctions fuchsienncsfuchsiennes étant beaucoup plus
compliqué que celui des fonctions elliptiques, les cas à considérer sont beaucoup
plus nomhreiixnombreux et variés. Ce qui en fait surtout l'intérêt, c'est qu'on peut s'en
servir pour jeter quelque lumière sur la question de la réduction des intégrales
abéliennes (58). J'y reviendrai plus loin.
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Au contraire, le théorème d'addition ne peut pas s'étendre à toutes les fonctions
fuchsiennes. Cela n'est possible que dans un cas particulier et pour une
classe spéciale de ces transcendantes (60). Je veux parler de ces fonctions fiiclisiennesfuchsiennes
qui tirent leur origine de la considération des formes quaclratiqucsquadratiques ternaires
indéfinies et sur lesquelles je reviendrai dans le paragraphe relatif b
l'Arithmétique.
I'Aritlimétique.
 
Les sul~stitutionslisubstitutions néaireslinéaires dont les coefficients ne sont plus réels, mais qiiclconquesquelconques,
peuvent aussi former des groupes discontinus que j'ai appelL:sappelés kleirtéenskleinéens
(14, 95, 67). Pour démontrer l'existence de ces groupes, je rencontrais la m6me
difficulté que pour les groupes fuclisiensfuchsiens, et il scniblaitsemblait au prcmicrpremier abord iinpossibleimpossible
d'appliquer la géométrie non-euclidienne. ~Dans a h cser tainscertains cas particuliers
la difficulté était facile à surmonter; mais, clansdans le cas général, elle subsistait
tout entière. J'imaginai alors un artifice qui me. permit de me servir de la g k -géométrie
métrie non euclidienne, non plus à deux, mais à trois dimcnsionsdimensions, et jcje démontrai
aisément l'existence des groupes kleinéens. Je n'avais plus qu'à appliquer
les méthodes qui m'avaient réussi une première fois pour trouver une nouvelle
catbgoriecatégorie de fonctions tout à fait analogues aux fonctions fuclisienncçfuchsiennes. La seule
différence digne d'être signalée est celle qui résulte de la forme du domaine à
l'intérieur duquel ces fonctions existcntexistent. Ce domaine, au lieu d'être un cercle,
est limité par une courbe non analytique qui n'a pas de rayon de courbure déterminé.
 
Dans d'autrescasautres cas, ce domaine estlimitéest limité par uiieinfinitéune infinité de dccirconféreiicescirconférences.
Les fonctions fuchsiennes sont susceptibles d'un autre mode de généralisa tiongénéralisation :
je veux parler des fonctions hyperfuclisienneshyper-fuchsiennes imaginées par M. Picard. IlaisMais,
comme elles ne peuvent guère s'appliquer aux équations tlilf'ércntiellcsdifférentielles proprement
dites, je me réserve d'y revenir dans la deuxième Partie, consacrée ià la
théorie générale des fonctions.
 
Les résultats d6jàdéjà obtenus faisaient dès lors pressentir quel intérêt il y aurait
Q déterminer les coefficients du groupe d'une équation linéaire en fonction des
coefficients de l'équation elle-même (33, 35, 68). Ce problème n'était pas nouveau
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voie divers résultats qui peuvent présenter quelque intérêt. Ainsi les coefficients
du groupe considérés comme fonctions de certains coefficients de l'équation (les
autres coefficients étant regardés conlmecomme constants) en sont des fonctions entières.
J'ai étudié également les fonctions inverses qui, dans certains cas, sont
uniformes.
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Les résultats ainsi obtenus ne donnaient encore qu'une solution bien incomplète
du problème que je m'étais proposé, c'est-à-dire l'intégration des équations
différentielles linéaires. Les équations que j'ai appelées plus liauthaut fuchsiennes,
et qu'on peut intégrer par une simple inversion, ne sont que des cas très particuliers
des équations linéaires du second ordre. On ne doit pas s'en étonner si
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Envisageons, par exemple, l'intégrale de deuxième espèce
 
u = sum(0...x)(((x^2)*dx)/(sqrt((1 - (x^2))(1- (k^2)*(x^2))))).
 
Pour l'obtenir, nous considérerons comme équation auxiliaire celle qui donne
l'intégrale de première espèce
 
z = sum(0...x)((dx)/(sqrt((1 - (x^2))(1- (k^2)*(x^2)))));
 
d'où par inversion
 
x = snzsn(z).
 
Remplaçant x par snzsn(z), on lrouvetrouve que u est égal à une fonction uniforme de 2z,
Z(z), qui augmente d'une constante quand z augmente d'une période. On est
donc conduit à employer ici un procédé analogue : étant donnée une eiquatinnéquation
linéaire E d'ordre quelconque, à coefficients algébriques en x, on se sert d'une
équation auxiliaire E' du second ordre, et cette équation auxiliaire doit être
choisie de telle façon que x soit fonction fucl-isiennefuchsienne du rapport z des intégrales
de E' et que les intégrales de E soient des fonctions uniformes de sz.
 
Est-il toujours possible de faire ce choix de manière à satisfaire à toutes ces
conditions? Telle est la question qui se pose naturellement. Cela revient d'ailleurs
à demander si, parmi les équations linéaires qui satisfont à certaines conditions,
qu'il est inutile d'énoncer ici, il y a toujours une équation fuclisiennefuchsienne.
 
Je suis parvenu à démontrer qu'on devait répondre affirmativement à cettccette question.
Je ne puis expliquer ici en quoi consiste la méthode dont nous nous sommes
servis d'abord, RIM. Klein et moi, dans l'étude de divers exemples particuliers;
c.ommentcomment M. Klein a cherché à appliquer cette méthode dans le cas général, ni
comment j'ai comblé les lacunes qui subsistaient encore dans la démonstration
du géomètre allemand, en introduisant une théorie qui a les plus grandes analogies
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Ainsi l'équation auxiliaire E' existera toujours; mais il ne suffit pas de pouvoir
démontrer son existence, il faut encore savoir la former. C'est là l'objet de
Inla dernière Partie de mon Mémoire Sur les groupes des équations linéaires. J'ai
donné, clans cette dernière Partie, des procédés pour c,alculercalculer les coefficients de
l'équation E', non pas exactement, ce qui est impossible, mais avec une approximation
aussi grande que l'on veut.
 
Si maintenant on considère le rapport z des intégrales de cette équation auxiliaire,
x est une fonction fuchsienne de z que jlappellefj'appelle f(sz), et les intégrales de
l'équation E sont des fonctions uniformes de z, qui subissent des transformations
linéaires lorsque a subit une transformation du sroupegroupe, de la nièinemême manière
que la fonction Z(z) augmente d'une constante quand z augmente d'une période
(69). Ces fonctions uniformes jouent pour l'intégration de l'équation E le
même rôle que la fonction L Z( z ) joue pour le calcul des intégrales elliptiques de
sec,ondeseconde espèce. C'est pour- cette raison que je les ai appelées z4tafucl~sienneszêta-fuchsiennes.
 
Ces fonctions zêtafuclisienneszêta-fuchsiennes sont évidemment susceptibles d'ètreêtre mises sous
la forrneforme du quolientquotient de deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes
de z. Ces deux séries sont convergentes à l'intérieur du cercle fondamental. Si
la fonction f(:z) n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondan-ientalfondamental (ce qucque nous
supposons), la variahlevariable z ne peut jarnaisjamais sortir de ce cercle, en sorte que nos
deux séries sont toujours convergentes. D'ailleurs, les coefficients de ces séries
se calculent aisément par récurrence. A ce point de vue, on peut donc dkjidéjà (liredire
que ces développements nous donnent l'intégration complète de l'équation E,
puisqu'ils sont toujours valables au lieu d'être limités à un domaine particulier.
 
Je ne nîeme suis cependant pas contenté de ce résultat, car il est possible de donner
des fonctions zêtafuchsienneszêta-fuchsiennes des développements beaucoup plus satisfaisants
pour l'esprit, parce que les termes sont liés les uns aux autres par uncune loi simplcsimple,
et que, par conséquent, le développement met en évidence les propriétés caractéristiques
de ces fonctions. C'est ainsi que l'expression de snzsn(z) par les séries
d 'Eisenstein ~ h n s t e i ne stest beaucoup plus satisfaisante pour l'esprit (quoique moins convergente)
que le développement de cette fonction suivant les puissances de z et
de k2(k^2). C'est dans ce but que j'ai exprimé les fonctions zêtafuclisienneszêta-fuchsiennes, par le
quotient de deux séries; le dénominateur est une série tliêtafuclisiennethêta-fuchsienne et le
numérateur est une série à termes rationnels, où l'expression du terme ç.énéra1général
est fort simple.
 
Ainsi, il est possil~ledpossible d 'exprimer les intégrales des équations linéaires à coefficients
algébriques, à l'aide (lesdes transcendantes iiouvellesnouvelles, de la même manière
que l'on a expriniéexprimé, à l'aide des fonctions abcliennesabéliennes, les intégrales des différentielles
algébriques. D'ailleurs ces dernières intégrales elles-mêmes sont susceptibles
d'être obtenues aussi par l'intermédiaire des fonctions fuclisiennesfuchsiennes,
et l'on en a ainsi une expression nouvelle, entièrement différente de celle où
entrent les séries Othêta à plusieurs variables.
 
III. - Intégration des équations linéaires par les fonctions algébriques et abéliennes.
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