« Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/10 » : différence entre les versions

<center><math>\delta J=\int dt\ d\tau\left[\sum\alpha\left(\frac{d\delta H}{dy}-\frac{d\delta G}{dz}\right)-\sum u\delta F\right]=0,</math></center>

<math>=-\int dt\ d\tau\sum\delta F\left(u-\frac{d\gamma}{dy}+\frac{d\beta}{dz}\right)=0</math>}}

{{Br0}}d'où, en égalant à zéro le coefficient de l'arbitraire &delta;F,

{{MathForm1|(3)|<math>u=\frac{d\gamma}{dy}-\frac{d\beta}{dz}.</math>}}

Cette relation nous donne (avec une intégration par parties):

<math>=\int\sum\alpha\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)d\tau,</math>}}

<center><math>\int\sum Fud\tau=\int\sum\alpha^{2}d\tau,</math></center>

{{Br0}}d'où enfin:

Désormais, et grâce à la relation (3), &delta;J est indépendant de &delta;F et par conséquent de &delta;&alpha;; faisons varier maintenant les autres variables.

Il vient, en revenant à l'expression (1) de J,

<center><math>\delta J=\int dt\ d\tau\left(\sum f\delta f-\sum F\delta u\right).</math></center>

Mais f, g, h sont assujettis à la 1^ere des conditions (2), de sorte que

{{Br0}}et qu'il convient d'écrire:

{{MathForm1|(6)|<math>\delta J=\int dt\ d\tau\left[\sum fdf-\sum F\delta u-\psi\left(\sum\frac{d\delta f}{dx}-\delta\rho\right)\right].</math>}}

Les principes du calcul des variations nous apprennent que l'on doit faire le calcul comme si, &psi; étant une fonction arbitraire, &delta;J était représente par l'expression (6) et si les variations n'étaient plus assujetties à la condition (5).

Nous avons d'autre part

<center><math>\delta u=\frac{d\delta f}{dt}+\delta\rho\xi,</math></center>

{{Br0}}d'où, après intégration par parties,

{{MathForm1|(7)|<math>\delta J=\int dt\ d\tau\sum\delta f\left(f+\frac{dF}{dt}+\frac{d\psi}{dx}\right)+\int dt\ d\tau\left(\psi\delta\rho-\sum F\delta\rho\xi\right).</math>}}

Si nous supposons d'abord que les électrons ne subissent pas de variation,