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Pour expliquer le résultat négatif de celle-ci, Lorentz et Fitz-Gérald ont proposé d’admettre, ce qui est en contradiction avec les notions d’espace et de temps qu’exige la mécanique, que la plate-forme en mouvement parait, aux observateurs qui la voient passer avec la vitesse ''v'', se contracter suivant la direction du mouvement dans le rapport <math>\scriptstyle \sqrt{1 - \frac{v^2}{\mathrm{V}^2}}</math>, de sorte qu’elle leur semble changer de forme lorsqu’on la fait tourner de 90° pour passer de la première position à la seconde. Dans le raisonnement qui nous a conduits à prévoir un changement d’aspect des franges par suite de cette rotation, nous avons désigné par ON et OM les distances de la lame aux deux miroirs et ces distances ont été supposées invariables pendant la rotation. Si on suppose qu’elles puissent changer et devenir respectivement ON' et OM' on a, pour la seconde position
{{centré|<math>\scriptstyle \frac{t'_{2}}{t'_{1}} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{\mathrm{V}^2}} \times \frac{\mathrm{ON}'}{\mathrm{OM}'}</math>}}
{{A|et l’hypothèse de Lorentz conduit aux relations suivantes : la distance OM, primitivement perpendiculaire à la direction du mouvement, doit se contracter pendant la rotation et devenir|0|0}}
{{centré|<math>\scriptstyle \mathrm{OM}' = \mathrm{OM} \sqrt{1 - \frac{v^2}{\mathrm{V}^2}}</math>.}}
Inversement la distance ON, primitivement parallèle à la direction du mouvement doit, pendant la rotation, se dilater dans le même rapport et devenir
{{centré|<math>\scriptstyle \mathrm{ON}' = \frac{\mathrm{ON}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{\mathrm{V}^2}}}</math>}}
{{A|d’où par division|0|0}}
{{centré|<math>\scriptstyle \mathrm{\frac{ON'}{OM'}} = \frac{1}{1- \frac{v^2}{\mathrm{V}^2}} \times \mathrm{\frac{ON}{OM}}</math>}}
{{A|et|0|0}}
{{centré|<math>\scriptstyle \frac{t'_{2}}{t'_{1}} = \mathrm{\frac{ON}{OM}} \times \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{v^2}{\mathrm{V}^2}}} = \frac{t_{2}}{t_{1}}</math>}}
{{A|de sorte que l’égalité de t{{ind|1}} et t{{ind|2}} entraîne l’égalité de t'{{ind|1}} et t'{{ind|2}}. L’aspect des franges, conformément à l’expérience, ne doit pas changer pendant la rotation. On peut montrer que cette même hypothèse de la contraction suffit à expliquer le résultat négatif des autres expériences électromagnétiques. Voyons nettement comment cette hypothèse est en contradiction avec l’univers de la mécanique.|0|0}}
Elle exige que tous les corps solides changent de forme pour des observateurs qui les voient passer avec la vitesse ''v'' quand leur orientation change. Au contraire, pour des observateurs liés à ces objets, la forme doit rester invariable puisque les règles dont ils pourraient se servir pour mesurer les dimensions étant liées au corps à mesurer devraient, pour les premiers observateurs, subir la même contraction. Il en résulte que la forme d’un solide devra être différente pour des observateurs qui lui sont liés et pour d’autres en mouvement par rapport à lui. Ceci est en contradiction avec la remarque faite plus haut à propos de l’espace ordinaire.
Le raisonnement que nous avons fait sur l’expérience optique en nous plaçant au point de vue d’observateurs qui voient passer la plate-forme, pourra être fait, naturellement, par des observateurs liés à celle-ci, s’ils se considèrent comme en mouvement avec la vitesse ''v'' par rapport au milieu qui transmet la lumière ou les actions électromagnétiques, et s’ils pensent tirer de l’expérience un moyen de mettre ce mouvement en évidence. C’est à ce point de vue qu’on s’est placé tout d’abord. Le résultat négatif d’une première expérience pouvait signifier qu’à ce moment particulier la Terre se trouvait, par hasard, immobile dans l’éther ; mais alors six mois plus tard, elle aurait dû se mouvoir par rapport au milieu à raison de 60 kilomètres par seconde et cependant à ce moment, l’expérience restait toujours négative. L’hypothèse de la contraction, destinée à expliquer ce résultat, fut faite d’abord sous cette forme qu’un corps en mouvement par rapport à l’éther se contracte, dans la direction de sa vitesse, dans le rapport <math>\scriptstyle \sqrt{1-\frac{v^2}{\mathrm{V}^2}}</math>.
Cet énoncé a, selon M. Einstein, l’inconvénient de faire intervenir, avec l’idée d’éther, celle d’un système de référence particulier qui serait immobile par rapport à lui, alors que l’expérience au contraire nous montre simplement que rien ne différencie les divers systèmes de référence, en mouvement les uns par rapport aux autres, qui sont liés à la Terre dans ses positions successives sur l’orbite. M. Einstein a traduit de façon immédiate et simple les faits expérimentaux en énonçant, sous sa forme générale le principe de relativité que j’ai donné au début. En se plaçant au point de vue particulier des phénomènes optiques, on peut dire : ''si divers groupes d’observateurs sont en mouvement les uns par rapport aux autres, les choses se passent de la même façon pour tous ; chacun d’eux peut se considérer comme immobile par rapport au milieu qui transmet la lumière et tout se passe pour lui comme si la lumière se propageait avec la même vitesse dans toutes les directions''. Pour qu’il puisse en être ainsi, le raisonnement qui précède nous montre qu’un corps ne doit pas avoir la même forme pour des observateurs qui lui sont liés et pour d’autres qui le voient passer, et qu’il doit paraître à ces derniers contracté, dans la direction de sa vitesse, dans le rapport de <math>\scriptstyle \sqrt{1-\frac{v^2}{\mathrm{V}^2}}</math>.
Soient O les observateurs liés à la Terre dans sa première position, O' ceux qui font six mois plus tard l’expérience négative de Michelson et Morley. Au point de vue de M. Einstein, ces derniers observateurs O' feront sur cette expérience le raisonnement I, et les observateurs O, qui feront le raisonnement II, devront conclure à la contraction de Lorentz pour le système en mouvement par rapport à eux sur lequel l’expérience est faite.
Cette contraction de Lorentz, incompatible avec les conceptions habituelles de l’espace et du temps, s’accompagne d’autres divergences analogues, d’égale importance, et que nous allons envisager successivement. Ayant d’y arriver, nous pouvons montrer d’une autre manière comment les faits expérimentaux exigent un remaniement du groupe de Galilée, de l’espace et du temps qui lui correspondent. Ces faits conduisent à admettre que les lois des phénomènes physiques sont les mêmes pour divers groupes d’observateurs en mouvement les uns par rapport aux autres, et par suite que les équations qui traduisent ces lois doivent se présenter sous la même forme pour tous ces groupes. Quand un même phénomène est examiné simultanément, comme nous venons de le faire pour l’expérience de Michelson et Morley, par deux groupes d’observateurs O et O', les mesures des diverses grandeurs, distance dans l’espace, intervalles dans le temps, grandeurs mécaniques, électro-magnétiques, optiques, etc., faites par les observateurs O doivent s’exprimer en fonction des mesures faites par les observateurs O' et des paramètres qui déterminent le mouvement relatif des deux groupes, de manière que ces expressions substituées dans les équations exprimant les lois telles qu’elles se présentent pour les observateurs O, conservent à celles-ci leur forme en fonction des mesures faites par les observateurs O'. Les transformations qui permettent de passer d’un système à l’autre doivent donc être telles qu’elles laissent invariante la forme des lois de la physique, comme la transformation du groupe de Galilée et les transformations connexes de la masse et de la force laissaient invariantes les équations de la mécanique. Or nous connaissons, avec un haut degré d’exactitude, les lois qui régissent les phénomènes électro-magnétiques. Ces lois sont exprimées par les équations de Maxwell et de Hertz et conduisent, quand on les applique à la théorie de la lumière, à une propagation de celle-ci conforme entièrement à la théorie des ondulations. L’équation de propagation fait intervenir un coefficient constant, la vitesse V commune à toutes les directions et si cette équation doit être vérifiée, comme l’affirme le principe de relativité, par tous les groupes d’observateurs, ceux-ci, à condition de faire un choix convenable d’unités, verront tous la lumière se propager avec une même vitesse V dans toutes les directions.
De plus, il est remarquable, comme l’a découvert Lorentz, que les équations de l’électromagnétisme admettent, effectivement, un groupe de transformations qui conserve leur forme et ce groupe, pour ce qui concerne les transformations de l’espace et du temps, diffère profondément du groupe de Galilée, qui n’en doit représenter qu’une première approximation étant donné que les expériences de mécanique ne sont susceptibles que d’une précision bien inférieure à celle des expériences d’électromagnétisme ou d’optique. Autrement dit, les expériences de mécanique sont trop peu précises pour nous permettre d’affirmer que les lois du mouvement de la matière admettent, en conservant leur forme, le groupe de Galilée plutôt que le nouveau groupe découvert par Lorentz. Au contraire, les expériences d’électromagnétisme et d’optique semblent être aujourd’hui suffisamment précises pour justifier entièrement la théorie de Maxwell et pour éliminer, en toute certitude, le groupe de Galilée.
Cette découverte du groupe de Lorentz est venue montrer après coup que les équations de l’électromagnétisme telles que les avaient établies antérieurement Maxwell, Hertz et Lorentz, sans aucune idée préconçue, contenaient précisément l’explication du résultat négatif des expériences nouvelles.
Pour étudier la partie du groupe de Lorentz qui correspond aux transformations de l’espace et du temps, il suffit d’admettre comme conséquence des faits expérimentaux et du principe de relativité qui les traduit, que la lumière se propage, pour tous les groupes d’observateurs, avec une même vitesse V, dans toutes les directions. Nous en avons déjà déduit la nécessité de la contraction de Lorentz, c’est-à-dire le changement de la forme d’un corps avec le mouvement des observateurs. Pour préciser ce changement nous pouvons donner du groupe de Lorentz une définition analogue à celle du groupe de la géométrie, qui est assujetti à conserver sa forme à l’expression de la distance de deux points. Comme l’espace et le temps interviennent ici simultanément c’est sur des événements qu’il nous faut raisonner.
Prenons, comme premier événement, l’émission d’un signal lumineux, notée, au point de vue de sa situation dans l’espace et dans le temps, ''x''{{ind|0}}, ''y''{{ind|0}}, ''z''{{ind|0}}, ''t''{{ind|0}} par les observateurs O et ''x''<nowiki />'{{ind|0}}, ''y''<nowiki />'{{ind|0}}, ''z''<nowiki />'{{ind|0}}, ''t''<nowiki />'{{ind|0}} par d’autres observateurs O', en mouvement uniforme par rapport aux premiers. Le second événement sera l’arrivée de ce signal lumineux à un appareil de réception quelconque : il sera noté respectivement ''x'', ''y'', ''z'', ''t'', et ''x''<nowiki />', ''y''<nowiki />', ''z''<nowiki />', ''t''<nowiki />' par les groupes d’observateurs O et O'. Pour les observateurs O, la distance parcourue par la lumière, a pour valeur :
{{centré|<math>\scriptstyle (x - x_{0})^2 + (y - y_{0})^2 + (z - z_{0})^2</math>}}
{{a|comme cette distance est parcourue pendant le temps ''t'' - ''t''{{ind|0}} par la lumière et que celle-ci, pour des observateurs quelconques, se déplace avec la vitesse V dans toutes les directions, on doit avoir, pour le couple considéré d’événements :|0|0}}
{{centré|<math>\scriptstyle (x - x_{0})^2 + (y - y_{0})^2 + (z - z_{0})^2 - \mathrm{V}^2(t - t_{0})^2 = 0</math>}}
La lumière se propageant aussi avec la vitesse V dans toutes les directions pour les observateurs O', on doit avoir en même temps :
{{centré|<math>\scriptstyle (x' - x'_{0})^2 + (y' - y'_{0})^2 + (z' - z'_{0})^2 - \mathrm{V}^2 (t' - t'_{0})^2 = 0</math>}}
Pour qu’une valeur nulle de la première expression entraîne nécessairement une valeur nulle de la seconde, il faut que les formules de transformation, qui permettent d’exprimer les composantes de la distance dans l’espace et l’intervalle dans le temps de deux événements pour les observateurs O, en fonction des mêmes éléments mesurés par les observateurs O', possèdent la propriété de laisser invariante l’expression :
{{centré|<math>\scriptstyle \mathrm{R} = (x - x_{0})^2 + (y - y_{0})^2 + (z - z_{0})^2 - \mathrm{V}^2 (t - t_{0})^2 = d^2 - \mathrm{V}^2 (t - t_{0})^2</math>{{intervalle|1em}}(1)}}
''x''{{ind|0}}, ''y''{{ind|0}}, ''z''{{ind|0}}, ''t''{{ind|0}}, ''x'', ''y'', ''z'', ''t'', étant deux événements, quelconques. Cette quantité R, qui a la même valeur pour tous les groupes d’observateurs, joue dans l’Univers de Minkowski un rôle analogue à celui de la distance de deux points en géométrie. Le groupe de Lorentz est déterminé par la condition d’invariance de cette quantité.
Dans le cas particulier où les deux systèmes d’axes ont même orientation et où leur mouvement relatif a lieu dans la direction des ''x'', avec la vitesse ''v'', la transformation de l’espace et du temps est déterminée par les équations suivantes, où β représente le rapport v/V, de la vitesse du mouvement relatif à la vitesse de la lumière :
{{centré|<poem><math>\scriptstyle x - x_{0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} [((x' - x'_{0})^2) + v (t' - t'_{0})]</math>
<math>\scriptstyle y - y_{0} = y' - y'_{0}</math>
<math>\scriptstyle z - z_{0} = z' - z'_{0}</math>
<math>\scriptstyle t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left[t' - t'_{0} - \frac{\beta}{\mathrm{V}} (x' - x'_{0})\right]</math></poem>}}
Dans le cas particulier où l’on suppose que le premier événement est choisi simultanément comme origine par les deux groupes d’observateurs, ces équations deviennent simplement
{{centré|<poem><math>\scriptstyle x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} (x' + v t')</math>
<math>\scriptstyle y = y'</math>
<math>\scriptstyle z = z'</math>
<math>\scriptstyle t = \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta^2}} \left(t' - \frac{\beta}{\mathrm{V}} x' \right)</math>.</poem>}}
Remarquons d’ailleurs que ce groupe se confondrait avec le groupe de Galilée si l’on y supposait infinie la vitesse de propagation V, puisque β deviendrait nul pour une vitesse ''v'' quelconque. Comme la vitesse de la lumière V est effectivement très grande par rapport aux vitesses ''v'' observables expérimentalement (au maximum 60 kilomètres par seconde), β est toujours très petit et, par suite, le groupe de Galilée est, pour le groupe de Lorentz, une première approximation, largement suffisante d’ordinaire, sauf pour des expériences extraordinairement délicates comme celles de Michelson et Morley.
Sur ces équations on retrouve immédiatement la contraction de Lorentz sous une forme précise. Supposons qu’un objet soit immobile par rapport aux observateurs O, et que ''x''{{ind|0}}, ''y''{{ind|0}}, ''z''{{ind|0}}, ''x'', ''y'', ''z'' soient, pour ces observateurs, les coordonnées de deux points A et B de cet objet. Pour étudier la forme de cet objet qui sera en mouvement par rapport à eux, les observateurs O' devront considérer des positions simultanées des divers points de l’objet, en particulier deux positions simultanées des points matériels A et B, c’est-à-dire les deux événements simultanés constitués par la présence de ces points matériels à un même instant noté par eux ''t''<nowiki />' = ''t''<nowiki />'{{ind|0}}. La distance des points A et B sera pour eux la distance dans l’espace de ces deux événements et aura pour composantes les expressions qu’on obtient, en faisant dans les équations qui précèdent,
{{centré|<math>\scriptstyle t' - t'_{0} = 0</math>}}
{{a|d’où|0|0}}
{{centré|<poem><math>\scriptstyle x' - x'_{0} = (x - x0) \sqrt{1 - \beta^2}</math>
<math>\scriptstyle y' - y'_{0} = y - y_{0}</math>
<math>\scriptstyle z' - z'_{0} = z - z_{0}</math>,</poem>}}
{{a|l’objet aura donc les mêmes dimensions pour les deux groupes d’observateurs dans les directions des ''y'' et des ''z'' perpendiculaires au mouvement ; il sera au contraire plus court dans la direction du mouvement pour les observateurs O', qui le voient passer, que pour les observateurs O, pour lesquels il est immobile. Cette contraction de Lorentz a lieu dans le rapport <math>\scriptstyle \sqrt{1 - \beta^2}</math>.|0|0}}
Il est d’ailleurs remarquable que cette contraction est réciproque, puisqu’au point de vue du principe de relativité rien ne différencie les observateurs O des observateurs O', un objet fixe par rapport aux observateurs O paraissant contracté aux observateurs O'. Si par exemple les deux groupes tiennent chacun une règle et si ces règles leur paraissent égales au passage quand elles sont tenues perpendiculairement à la direction du mouvement, au contraire, quand les règles seront tenues parallèles à la direction du mouvement relatif, chacun des groupes verra, au passage, la règle de l’autre plus courte que la sienne.
Pour comprendre qu’il en puisse être ainsi, il faut porter notre attention sur un second aspect paradoxal de la transformation de Lorentz, sur le fait que la simultanéité n’a plus qu’un sens relatif, contrairement à l’hypothèse fondamentale du groupe de Galilée ; deux événements simultanés pour l’un des groupes d’observateurs ne le sont pas en général pour l’autre à moins que leur coïncidence dans le temps ne s’accompagne en même temps d’une coïncidence dans l’espace. En effet, la dernière des formules de transformation nous donne pour deux événements simultanés au point de vue des observateurs O', c’est-à-dire pour <math>\scriptstyle t' - t'_0 = 0</math> :
{{centré|<math>\scriptstyle t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \times \frac{\beta}{\mathrm{V}} (x'_{0} - x')</math>.}}
Les deux événements ne sont donc pas simultanés pour deux observateurs O, en même temps que pour O', à moins que ''x''<nowiki />' ne soit égal à ''x''<nowiki />'{{ind|0}}.
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