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« Le Principe de relativité » : différence entre les versions

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Ligne 138 :
et x', y', z', t', pour l'autre :
 
(1){{centré|<math>\scriptstyle x = x'+ vt', y = y', z = z', t = t'.</math>}} (1)
 
Ces formules caractérisent une transformation
Ligne 147 :
de même forme avec une valeur de la vitesse égale à
 
{{centré|<math>\scriptstyle v'' = v + v'</math>}} (2)
(2) v" = v + v'
 
c'est, pour le cas simple actuel, la loi bien connue de
Ligne 245 :
est construite sur les équations fondamentales de la
forme
 
(3){{centré|<math>\scriptstyle m. \frac{d^2 x/}{dt^2} = F,</math>}} (3)
 
F étant la composante dans la direction des x de la
force qui agit sur le point matériel.
Si nous associons aux relations (1) la condition
d'invariance de la masse
 
{{centré|<math>\scriptstyle m = m'</math>}} (4)
(4) m = m',
 
et la condition qui traduit dans notre cas particulier
le caractère vectoriel de la force
 
{{centré|<math>\scriptstyle F=F'</math>}} (5)
(5) F=F',
 
nous obtenons, comme conséquence de (1), (3), (4)
et (5),
 
(6){{centré|<math>\scriptstyle m'. \frac{d^2 x'/}{dt'^2} = F',</math>}} (6)
 
c'est-à-dire que ''les équations de la Mécanique conservent
Ligne 339 :
doit être égale à
 
{{centré|<math>\scriptstyle \frac{1}{2} . \frac{v^2}{V^2}</math>}}
(1/2).(v^2/V^2) ou (beta^2)/2
 
ou
 
{{centré|<math>\scriptstyle \frac{beta^2}{2}</math>}}
 
en posant
 
{{centré|<math>\scriptstyle beta = \frac{v}{V}</math>}}
beta = v/V
 
où v représente la vitesse du mouvement d'ensemble
Ligne 474 ⟶ 477 :
principe de relativité restreinte
 
(3){{bloc centré|<poem><math>\scriptstyle x = \frac{1/[}{\sqrt{(1-beta^2)]}}.(x'+vt')</math>
<math>\scriptstyle y = y'</math>
<math>\scriptstyle z = z'</math>
<math>\scriptstyle t = \frac{1/[}{\sqrt{(1-beta^2)]}}.(t' + \frac{v*x'/}{V^2})</math>,</poem>}} (3)
 
en posant toujours
 
{{centré|<math>\scriptstyle beta = \frac{v}{V}</math>}}
beta = v/V
 
Ces transformations forment encore un groupe
Ligne 487 ⟶ 490 :
v et v' équivalent à une transformation unique de
même forme et de vitesse v'' donnée, comme un calcul
facile permet de s'en assurer, par la relation
 
{{centré|<math>\scriptstyle v'' = \frac{v+v'}{1 + \frac{v*v'}{V^2}}</math>}}
(4) v'' = (v+v')/[1+(v*v'/V^2)] ou (beta+beta')/(1+beta*beta')
 
ou
 
{{centré|<math>\scriptstyle \frac{beta+beta'}{1+beta*beta'}</math>}} (4)
 
On donne à ce groupe le nom de groupe de Lorentz
Ligne 707 ⟶ 714 :
a pour composante dans la direction des x
 
{{centré|<math>\scriptstyle v' = \frac{dx'}{dt'}</math>}}
v' = dx'/dt',
 
et dont la vitesse par rapport aux observateurs O a
pour composante dans cette même direction
 
{{centré|<math>\scriptstyle v'' = \frac{dx}{dt}</math>}}
v'' = dx/dt
 
Il suffit de différencier la première et la dernière
Ligne 720 ⟶ 727 :
de vitesses
 
{{centré|<math>\scriptstyle v'' = (\frac{v+v')/[}{1 +( \frac{v*v'/}{V^2)]}}</math>}}
 
Il est facile de vérifier sur cette formule que ''la
Ligne 757 ⟶ 764 :
de ces ondes par rapport au milieu est donnée par
 
{{centré|<math>\scriptstyle U' = \frac{V}{n}</math>}}
U' = V/n
 
conformément au résultat des mesures directes de
Ligne 765 ⟶ 772 :
vitesse des ondes par rapport à ceux-ci est
 
{{centré|<math>\scriptstyle U'' = U' + v*.(1 - \frac{1/}{n^2})</math>}}
 
Au point de vue de la cinématique ancienne, il
Ligne 781 ⟶ 788 :
vitesse d'entraînement v ; il vient
 
{{centré|<math>\scriptstyle U'' = (\frac{U'+v)/[}{1 +( \frac{U'*v/}{V^2)]}} = U'+v[1 -( \frac{U'^2/}{V^2)}] = U'+v(1 - \frac{1/}{n^2})</math>}}
 
en limitant le développement aux termes du premier
Ligne 792 ⟶ 799 :
La relation
 
{{centré|<math>\scriptstyle t = \frac{1/[}{ \sqrt{(1-beta^2)]}}.(t' + \frac{v*x'/}{V^2})</math>}}
 
montre que, contrairement à ce qui se passe en cinématique
Ligne 810 ⟶ 817 :
De même la formule
 
{{centré|<math>\scriptstyle x = \frac{1/[}{\sqrt{(1-beta^2)]}}.(x'+vt')</math>}}
 
montre que pour t'=0 on a
 
{{centré|<math>\scriptstyle x = \frac{x'/[}{\sqrt{(1-beta^2)]}}</math>}}
 
c'est-à-dire que deux événements simultanés pour les
Ligne 830 ⟶ 837 :
relation précédente, on aura
 
{{centré|<math>\scriptstyle x' = x* \sqrt{(1-beta^2)}</math>}}
 
Cette relation est d'ailleurs réciproque : si la règle
Ligne 838 ⟶ 845 :
simultanés pour eux (t=0) et l'on aurait
 
{{centré|<math>\scriptstyle x = x'* \sqrt{(1-beta^2)}</math>}}
 
Ceci est la forme sous laquelle la contraction de
Ligne 862 ⟶ 869 :
le temps et une distance dans l'espace donnés par
 
{{centré|<math>\scriptstyle t = \frac{1/[}{ \sqrt{(1-beta^2)]}}.( \frac{v*x'/}{V^2)}, x = \frac{x'/[}{ \sqrt{(1-beta^2)]}}</math>}}
 
d'où
 
{{centré|<math>\scriptstyle x = ( \frac{V^2/}{v}) . t = \frac{V*t/}{beta} > V*t</math>}}
 
Il résulte de cette inégalité que le caractère relatif
Ligne 897 ⟶ 904 :
transformation (3) laisse invariante l'expression
 
(5){{centré|<math>\scriptstyle s^2 = V^2*.t^2 — x^2 — y^2 — z^2</math>}} (5)
 
ou, s'il s'agit d'événements infiniment voisins, l'expression
 
(6){{centré|<math>\scriptstyle ds^2 = V^2*.dt^2 — dx^2 — dy^2 — dz^2,</math>}} (6)
 
c'est-à-dire qu'on a identiquement
 
{{centré|<math>\scriptstyle ds^2 = V^2*.dt^2 — dx^2 —dy^2 — dz^2 =. V^2*.dt'^2 — dx'^2 — dy'^2 — dz'^2.</math>}}
 
Cet invariant joue, dans la théorie de la relativité,
Ligne 1 019 ⟶ 1 026 :
par les deux événements, aura pour expression
 
{{centré|<math>\scriptstyle I = \int\limits_{A}^{B} ds</math>}} (7)
(7) I = sum from A to B (ds)
 
l'intégrale étant étendue à tous les couples d'événements
Ligne 1 039 ⟶ 1 046 :
simple,
 
{{centré|<math>\scriptstyle delta . \int ds = 0</math>}} (8)
(8) delta*sum(ds) = 0,
 
On remarquera que cet énoncé ''d'action stationnaire''
Ligne 1 073 ⟶ 1 080 :
dans l'espace est nulle.
 
(9){{centré|<math>\scriptstyle ds^2 = V^2*.d tau^2</math>}} ou ds = V*d tau.
 
ou
 
{{centré|<math>\scriptstyle ds = V*d tau</math>}} (9)
 
Nous donnerons à d tau le nom, qui s'impose d'après
Ligne 1 087 ⟶ 1 098 :
libre, on a, le long de cette ligne,
 
{{centré|<math>\scriptstyle \int\limits_{A}^B ds = V. \int\limits_{A}^B d tau</math>}} (10)
(10) sum from A to B (ds) = V*sum from A to B (d tau)
 
C'est donc le mouvement rectiligne et uniforme
Ligne 1 098 ⟶ 1 109 :
et l'on a, d'après la définition de ds^2,
 
{{centré|<math>\scriptstyle ds^2 = V^2*dt^2 — v^2*dt^2 = V^2*(1-beta^2)*dt^2</math>}}
 
d'où
 
(11){{centré|<math>\scriptstyle d tau = \sqrt{(1-beta^2*dt)}</math>}} (11)
 
et
 
sum from{{centré|<math>\scriptstyle \int\limits_{A to }^B (d tau) = sum\int\limits_{t_{1}}^{t_{2} from t1 to t2 (\sqrt{(1-beta^2))} dt</math>}}
 
où t1 et t2 sont les instants auxquels se passent les
Ligne 1 183 ⟶ 1 194 :
totale E, on a la relation
 
{{centré|<math>\scriptstyle m = \frac{E}{V}</math>}} (12)
(12) m = E/V
 
de sorte que la masse varie avec l'énergie et ne reste
Ligne 1 196 ⟶ 1 207 :
lui sont liés) et par conséquent
 
{{centré|<math>\scriptstyle m_{0} = \frac{E_{0}}{V^2}</math>}}
m0 = E0/V^2
 
sa masse au repos, ce que nous appellerons sa ''masse
Ligne 1 203 ⟶ 1 214 :
une vitesse v = beta*V pour valeur
 
(13){{centré|<math>\scriptstyle E = E0/[\frac{E_{0}{ \sqrt{(1-beta^2)]}}</math>}} (13)
 
L'énergie cinétique prend la valeur
 
{{centré|<math>\scriptstyle E - E0E_{0} = E0*[E_{0}. \frac{1/(}{ \sqrt{(1-beta^2))}-1]}</math>}}
 
qui, pour les petites valeurs de beta, se confond, comme on
Ligne 1 214 ⟶ 1 225 :
cinétique ordinaire
 
{{centré|<math>\scriptstyle \frac{1}{2} . E_{0} . beta^2 = \frac{1}{2} . m_{0} . v^2</math>}}
(1/2)*E0*beta^2 = (1/2)*m0*v^2
 
A la valeur (13) de l'énergie correspond, en vertu
de la relation (12), une valeur de la masse m :
 
(14){{centré|<math>\scriptstyle m = \frac{1/[}{ \sqrt{(1-beta^2)]}}</math>}} (14)
 
L'accroissement de masse avec la vitesse ainsi
Ligne 1 254 ⟶ 1 265 :
de la relativité,
 
(15){{centré|<math>\scriptstyle U* . e = m0*m_{0} . V^2*[ . \frac{1/(}{ \sqrt{(1-beta^2))}-1] et H*R = m*v}</emath>}} = m0*beta*V/[e*(sqrt(1-beta^2))]
 
et
 
{{centré|<math>\scriptstyle H*R = m* \frac{v}{e} = m_{0} . beta . \frac{V}{e*( \sqrt{(1-beta^2)})}</math>}} (15)
 
La première équation exprime que l'accroissement
Ligne 1 446 ⟶ 1 461 :
valeur
 
(16){{centré|<math>\scriptstyle alpha = (\frac{2*G*M)/(}{R*V^2}</math>}} (16)
 
où G est la constante de la gravitation, M la masse du
Ligne 1 455 ⟶ 1 470 :
pour a la valeur
 
{{centré|<math>\scriptstyle alpha = 0''87</math>}}
 
Une étoile voisine du bord du Soleil devrait donc
Ligne 1 699 ⟶ 1 714 :
traduite analytiquement par l'équation de Poisson
 
(17){{centré|<math>\scriptstyle delta . phi = 4*Pi*G*rho</math>}} (17)
 
où phi est le potentiel de gravitation, G la constante de la
Ligne 1 796 ⟶ 1 811 :
immédiat de ces événements est donné par
 
(18){{centré|<math>\scriptstyle ds^2 = V^2*d tau^2 = (V^2 - 2*G* \frac{M/}{r)}*dt^2 - [1-( \frac{2*G*M)/(}{V^2*r)}]^(-1) * dr^2 - r^2*sin^2(theta)*d phi^2</math>}} (18)
 
où M représente la masse du corps attirant, du Soleil
Ligne 1 816 ⟶ 1 831 :
par période par la formule
 
(19){{centré|<math>\scriptstyle delta . omega = (\frac{3*G*M)/[}{a*V^2*(1-e^2)]}</math>}} (19)
 
où a est le demi-grand axe de l'ellipse, e son excentricité.
Ligne 1 823 ⟶ 1 838 :
et aux éléments a et e de la planète Mercure :
 
{{centré|<math>\scriptstyle \frac{G*M/}{V^2} = 1,47.10^5,</math>}} a = 5,85.10^12, e = 0,21
 
{{centré|<math>\scriptstyle a = 5,85.10^(12)</math>}}
 
{{centré|<math>\scriptstyle e = 0,21</math>}}
 
et en prenant 88 jours pour la durée de révolution, on
Ligne 1 862 ⟶ 1 881 :
par l'expression
 
(20){{centré|<math>\scriptstyle alpha' = (\frac{4*G*M)/(}{R*V^2}</math>}} (20)
 
double exactement, comme je l'ai déjà dit, de la valeur
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