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La relativité restreinte.
 
1. ''La relativité en Mécanique''. — L'expérience
montre que les phénomènes mécaniques se passent
de la même manière lorsqu'ils sont observés à partir
et pour d'autres opérant à l'intérieur d'un véhicule
lancé à toute vitesse d'un mouvement uniforme. On
peut encore dire qu' ''il n'y a pas de translation absolue'',
l'expérience ne peut mettre en évidence que le mouvement
de translation relatif de deux portions de
expressions qui nous seront utiles par la suite.
 
2. ''L'Univers cinématique''. — La présence d'une
portion de matière, d'un mobile par exemple, en un
certain lieu à un certain instant est un événement.
électromagnétique par exemple, se trouve ou passe
en un lieu donné à un instant donné. Nous appellerons
''Univers'' l'ensemble des événements. Pour repérer
ceux-ci, nous pouvons faire choix de divers ''systèmes
de référence'' par exemple d'axes rectangulaires liés à
un groupe donné d'observateurs. Pour ceux-ci, la
situation de chaque événement sera caractérisée par
quatre coordonnées, x, y, z, t, dont trois d'espace
et une de temps. L'ensemble de toutes les situations
possibles d'événements constitue V ''l'Univers cinématique''
défini comme étant une multiplicité à quatre dimensions.
Les coordonnées d'un même événement changent
est rapporté à divers systèmes de référence en mouvement
les uns par rapport aux autres. Nous supposerons
toujours, au moins en relativité 'restreinte, que tous
les observateurs emploient les mêmes unités, se servent,
en particulier pour les mesures d'espace et de
 
Ces formules caractérisent une transformation
faisant partie de ce que nous appellerons le ''groupe de
Galilée''. On entend par là que deux transformations
successives de cette nature, correspondant à des vitesses
v et v' équivalent à une transformation unique
Ce groupe de Galilée possède les propriétés suivantes,
fondamentales en cinématique ordinaire.
Un ''L'intervalle de temps entre deux événements a la
même valeur dans tous les systèmes de référence'' (temps
absolu). En particulier, ''la simultanéité a un sens absolu'',
deux événements simultanés pour un groupe d'observateurs
sont simultanés pour tous autres quel que soit
leur mouvement par rapport aux premiers. ''Le temps
est un invariant du groupe de Galilée''.
La distance dans l'espace de deux événements
simultanés est la même pour tous les observateurs.
de référence. L'espace, comme le temps, est
le même pour tous.
Au contraire, deux événements ''successifs'', séparés
par un intervalle de temps t, ont ''une distance dans
l'espace variable avec le système de référence''. Cela résulte
immédiatement des formules (1) et peut s'illustrer par
un exemple concret simple : un wagon se mouvant
C'est seulement dans le cas où il y aurait coïncidence
des événements dans l'espace et dans le temps,
''coïncidence absolue'' comme nous dirons, que la distance
dans l'espace et l'intervalle dans le temps doivent
s'annuler à la fois pour tous les groupes d'observateurs.
ouverture.
Il est important de remarquer dès maintenant que
toute notre expérience, ''toutes les sensations par lesquelles
nous percevons V l'Univers, sont déterminées par de
telles coïncidences absolues'', contact de notre corps avec
les objets ou coïncidence absolue d'un signal lumineux
avec notre rétine. ''Les liaisons causales que la mémoire
et l'habitude nous permettent d'établir entre des séries
de semblables coïncidences doivent avoir le même caractère
absolu, et, comme toute notre science est fondée sur de
telles constatations, les lois qui régissent V l'Univers'' de
notre expérience, le seul qui soit objet de science,
''doivent avoir {ou pouvoir être mises sous) une forme complètement
indépendante du système de référence''. On voit
apparaître ici l'idée profonde qui semble avoir guidé
M. Einstein à travers toutes les difficultés de la seconde
avant le succès complet atteint seulement à la fin de
1915, la conviction profonde qu'il était possible et
même,| nécessaire de donner aux lois de la physique
une forme complètement invariante pour toutes les
transformations qui permettent de passer d'un système
se limitait le principe de relativité restreinte.
 
3. ''La Mécanique rationnelle'', — A la cinématique,
définie par le groupe de Galilée, la Mécanique rationnelle
associe tout d'abord les notions de masse et de
(6) m'.d^2 x'/dt'^2 = F',
 
c'est-à-dire que ''les équations de la Mécanique conservent
leur forme quand on passe d'un système de référence
à un autre en mouvement de translation uniforme par
rapport au premier''. Ce fait traduit analytiquement
le caractère relatif du mouvement de translation
uniforme en Mécanique.
Cette invariance des lois de la Mécanique se
traduit d'ailleurs par la possibilité d'en donner des
énoncés ''intrinsèques'' grâce à l'introduction d'éléments
''vectoriels'' (vitesse, accélération, force, axes de couples,
quantités de mouvement, moments de quantités de
mouvement), ''tensoriels'' (moments d'inertie, déformations
élastiques, tensions élastiques, etc.), ou ''scalaires''
(masse, énergie, etc.), sans qu'interviennent les coordonnées
particulières dans un système de référence,
de l'espace).
 
4. ''La relativité en Physique''. — On peut se demander
si l'indifférence à une translation uniforme s'étend
à l'ensemble des phénomènes physiques : il en doit
En présence du résultat négatif de toutes les tentatives
faites dans ce but, il a paru naturel de généraliser
et d'énoncer un ''principe de relativité'' restreinte sous
la forme:
la forme: Il est impossible, par des expériences de physique
 
la forme:" ''Il est impossible, par des expériences de physique
intérieures à un système matériel, de mettre en évidence
un mouvement de translation d'ensemble du système'' ",
 
ou encore de manière plus symétrique :
 
" ''Les lois de la Physique sont les mêmes pour tous les
systèmes de référence en translation uniforme les uns par
rapport aux autres. Tout se passe pour chaque système de
référence comme s'il était immobile par rapport à l'éther,.'' "
Tout se passe pour chaque système de référence
 
comme s'il était immobile par rapport à l'éther,
La théorie des ondulations en optique, sous la
forme que lui a donnée Fresnel, est d'accord avec
et le carré de ce rapport, soit 1/100 000 000 ou 10^(-8).
 
5. ''L'expérience de Michelson et la contraction de
Lorentz''. — L'accord entre les faits et la théorie des
ondulations de Fresnel, fondée sur la cinématique
ordinaire, cesse lorsqu'on arrive aux expériences du
40.000.000 pour 22 m de trajet aller et retour, on
aurait dû observer un déplacement d'au moins une
demi-frange, alors que ''l'expérience a donné un résultat
constamment négatif'' à la précision du centième de
frange.
 
une forme compliquée et variable avec le
mouvement supposé du système de référence par
rapport à l'éther, ''alors que l'expérience nous montre
au contraire que ce mouvement d'ensemble est inaccessible
et que les phénomènes se passent exactement de la même
manière pour tous les systèmes quels que soient leurs
mouvements de translation uniforme les uns par rapport
aux autres''.
Pour éviter ces complications arbitraires et ne
rien introduire dans nos conceptions fondamentales
de traduire le résultat de l'expérience de Michelson
sous la forme suivante :
''Pour tous les systèmes de référence en translation
uniforme les uns par rapport aux autres'', tels que ceux
liés à la Terre aux différents instants de son mouvement
annuel, ''la vitesse de la lumière est la même dans
toutes les directions''.
Cette loi particulière, conforme au principe de
relativité restreinte énoncé plus haut, doit nous sembler
mêmes unités de longueur et de temps.
 
6. ''La cinématique nouvelle et le groupe de Lorentz''.
— Il est facile de voir que le point de vue nouveau est
incompatible avec la cinématique ordinaire : imaginons
qui se propagent avec une vitesse finie, celle de la
lumière. Le temps utilisé par chacun des groupes
d'observateurs est ainsi le ''temps optique'' ou électromagnétique,
et la vitesse de la lumière, qui intervient
dans la définition même du temps, joue par là même
réels.
 
7. ''Actions à distance et actions de contact,''. — Nous
nous trouvons ainsi conduits à remarquer que ces modifications
profondes, introduites dans nos conceptions
en proche avec une vitesse finie caractéristique de
l'espace vide interposé.
Notre affirmation que ''la seule cinématique ayant
un sens expérimental, et aussi grâce à laquelle les lois
de la Physique prennent une forme simple indépendante
du système de référence, est la cinématique du groupe
de Lorentz'', prend ainsi une signification plus nette et
plus profonde et vient s'appuyer largement sur toute
l'histoire de la Physique.
 
8. ''La composition des vitesses''. — Mettons tout d'à
bord en évidence le rôle particulier que joue la vitesse
de la lumière dans la cinématique de la relativité. On
v'' = (v+v')/[1+(v*v'/V^2)]
 
Il est facile de vérifier sur cette formule que ''la
composition (d'un nombre quelconque de vitesses inférieures
à V donne toujours une vitesse inférieure à V'' et par
conséquent qu'un mobile, par accroissements successifs
à partir du mouvement antérieurement acquis, ne
pourra jamais atteindre la vitesse de la lumière.
 
9. ''Les rayons beta du radium''. — Une première vérification
expérimentale de ce résultat va nous être
apportée par l'observation des mouvements les plus
par Danysz en particulier, montrent que ces particules beta
présentent toute une série de vitesses et que celles-ci
''convergent vers la vitesse de la lumière'', s 'accumulant
au-dessous de celle-ci puisqu'on a pu observer jusqu'à
297.000 km par seconde, mais sans l'atteindre et
encore moins la dépasser.
 
10. Un ''L'entraînement des ondes,''. — Une confirmation
non moins remarquable, et qui attira vivement l'attention
des physiciens lorsqu'elle fut signalée par M. Einstein
purement cinématique, immédiate et simple au possible.
 
11. ''Le temps et l'espace relatifs''. — Dégageons
quelques aspects particulièrement remarquables de la
cinématique nouvelle.
c'est-à-dire lorsqu'il y a coïncidence absolue des deux
événements au sens que j'ai indiqué plus haut).
''Si, pour les observateurs O', les deux événements
coïncident dans le temps'', c'est-à-dire ''sont simultanés''
(t=0), sans coïncider dans l'espace (x' différent de
zéro), t est différent de zéro, c'est-à-dire que ''les
événements ne sont pas simultanés pour les observateurs O''.
De même la formule
 
cette règle est mobile par rapport à eux et sa longueur
est définie comme la distance x' dans l'espace entre les
événements que sont les présences ''simultanées'' (pour
eux) des deux extrémités de la règle. En vertu de la
relation précédente, on aura
la condition de laisser invariante l'expression de la
distance entre deux points en fonction de leurs coordonnées.
 
" ''De même encore que la géométrie affirme l'existence
d'un espace indépendant des systèmes particuliers de
coordonnées qui servent à en repérer les points, et permet
d'en énoncer les lois sous une forme intrinsèque grâce à
l'introduction d'éléments invariants'' (distances, angles,
surfaces, volumes, etc.), ''la physique, par l'intermédiaire
du principe de relativité affirme l'existence d'un Univers
indépendant du système de référence qui sert à repérer
les événements'' ".
 
Le principe de relativité, sous la forme restreinte
à la distance en géométrie.
 
12. ''La possibilité d'influence ou d'action''. —Il importe,
à titre d'exemple, d'insister sur la signification
physique de ce premier invariant. Si deux événements
événements peut juste coïncider au passage avec
l'autre. On peut donc dire que cette quantité mesure
''la possibilité d'influence ou d'action'' (au sens cinématique)
des deux événements l'un sur l'autre.
 
13. ''La loi d'inertie ou d'action stationnaire ''. —
Comme exemple de la possibilité indiquée plus haut
d'atteindre, grâce à l'introduction de semblables
invariants, des énoncés ''intrinsèques et simples'' pour les
lois de la physique ou de la mécanique, voyons comment
l'invariant fondamental s ou ds permet d'exprimer la
un qui est le premier dans le temps au sens absolu
puisque l'ordre de succession est invariable quand s
est réel) passe par le second B. En appelant ''ligne
d' Univers'' l'ensemble des événements que représentent
les diverses positions successives d'un mobile, nous
pouvons encore énoncer ceci en disant : lorsque deux
dont la distance est réelle. La quantité qui correspondra
ici à la longueur d'une de ces lignes, et qui sera la
''possibilité d'action'' le long d'une ligne d'univers passant
par les deux événements, aura pour expression
 
distance des deux points.
Un calcul très simple, qui utilise la définition (6)
de ds, montre que l'intégrale I est ''stationnaire'' et passe
par un maximum égal à s pour la ligne d'univers qui
correspond à ''un mouvement rectiligne et uniforme^,
c'est-à-dire à un mobile se mouvant entre les deux événements
conformément à la loi d'inertie''.
 
Cette loi a donc, pour énoncé intrinsèque et
(8) delta*sum(ds) = 0,
 
On remarquera que cet énoncé ''d'action stationnaire''
a précisément la forme hamiltonienne et fait
jouer, dans l'Univers de la relativité, au mouvement
forme plus générale, que le mouvement d'un point
matériel libre, que la ligne d'univers de ce point est
une ''géodésique'' tracée dans la multiplicité à quatre
dimensions qu'est l'ensemble des événements ou Univers.
On voit déjà que, loin de compliquer les choses,
puissance de simplification.
 
14. ''Le temps propre''. — Nous pouvons encore
donner de l'invariant fondamental une autre interprétation
dans le cas où il est réel. Imaginons pour
cela que des observateurs soient liés au mobile dont
la ligne d'univers passe par les deux événements considérés:
: pour eux les deux événements se passent au
même point puisque tous deux coïncident avec leur
présence, de sorte que si d tau est la mesure ''faite par
eux'' de l'intervalle de temps entre les deux événements
supposés par exemple infiniment voisins, on a, comme
conséquence de la formule (6), en tenant compte du
 
Nous donnerons à d tau le nom, qui s'impose d'après
ce qui précède, de ''temps propre'' du mobile entre les
deux événements qui se succèdent au même point
par rapport à lui. La possibilité d'influence entre deux
seront grandes puisque la durée totale t2-t1 fixe,
et plus l'intégrale entre ces limites fixes sera petite.
La loi d'inertie peut encore s'exprimer comme ''loi
du temps propre maximum'', et elle nous apparaît comme
liée de façon nécessaire aux conclusions suivantes,
dont l'aspect semble plus paradoxal encore que celles
par conséquent aucun intérêt pratique.
 
15. ''La dynamique de la relativité''. — Revenons à des
conséquences plus facilement vérifiables par l'expérience.
A la nouvelle cinématique correspond une dynamique nouvelle,
En effet, elle réunit en un seul l'ensemble des principes
de conservation de la masse, de la quantité de mouvement
et de l'énergie. ''Elle affirme pour un système
matériel isolé la constance d'un vecteur d'Univers à
quatre composantes, dont les trois composantes d'espace
sont les quantités de mouvement et dont la composante
de temps est l'énergie''.
De plus, et ceci est l'aspect peut-être le plus remarquable,
''la notion de masse se confond avec celle d'énergie'' :
la masse d'un système matériel n'est plus qu'une quantité
proportionnelle à son énergie interne avec un coefficient
par exemple.
 
16. ''Variation de la masse avec la vitesse''. — L'énergie
totale d'un corps augmente avec sa vitesse d'une
quantité égale à l'énergie cinétique. Si E0 est l'énergie
m0 = E0/V^2
 
sa masse au repos, ce que nous appellerons sa ''masse
initiale'', la théorie montre que son énergie mesurée
par des observateurs qui le voient en mouvement avec
une vitesse v = beta*V pour valeur
d'un corps en mouvement est plus grande que celle
du même corps au repos et n'est qu'un aspect particulier
de la loi fondamentale d' ''inertie de l'énergie'' exprimée
par la formule (12).
 
17. ''Vérifications expérimentales''. — La variation
de masse ainsi prévue ne devient sensible que pour
des vitesses du même ordre que celle de la lumière
de la masse initiale.
 
18. ''La structure des raies de l'hydrogène''. — Une
confirmation au moins aussi remarquable et tout à fait
imprévue a été apportée en 1916 par M. Sommerfeld.
de MM. Buisson et Fabry ont donné pour la raie rouge
(alpha) de l'hydrogène un écartement voisin de trois centièmes
d'unité AngstrômAngström.
Comme les vitesses que prévoit la théorie pour
les diverses orbites possibles de l'électron dans l'atome
dans les problèmes de ce genre ne permettrait pas de
résoudre la difficulté.
Le succès de cette idée a été remarquable. ''La
nouvelle dynamique donne exactement la structure observée
pour les raies de la série de Balmer''.
De plus, elle prévoit que les rayons de RôntgenRöntgen
caractéristiques émis par les atomes des divers éléments
doivent présenter dans leur spectre des structures
accord avec les faits.
 
19. ''Les petits écarts à la loi de Prout''. — La relation (12)
d'inertie de l'énergie comporte d'autres
conséquences remarquables.
écart important existe avec un multiple entier de
l'hydrogène semblent devoir s'expliquer par l'existence
d'un mélange d'éléments ''isotopes'' doués des mêmes
propriétés chimiques mais de masses atomiques différentes.
La méthode des rayons positifs imaginée par
Mais les travaux de Stas ont montré que de petites
différences subsistent, que les masses atomiques des
éléments les plus simples sont ''très voisins'' de multiples
entiers de celle de l'hydrogène.
Or il suffit d'admettre que la formation d'atomes
complexes à partir de l'élément simple s'accompagne
de variations d'énergie interne par rayonnement ''du
même ordre que celles auxquelles nous assistons au cours
des transformations radioactives'', pour rendre compte
quantitativement de ces écarts par application de la
formule (12), d'après laquelle la variation de masse
La Relativité Généralisée.
 
20. ''La pesanteur de l'énergie''. — Si l'on réfléchit
d'ailleurs que cette inertie de l'énergie donne l'interprétation
la plus simple de la pression de rayonnement
d'inertie de l'énergie, la variation de masse d'un corps
avec son énergie totale. Mais, d'autre part, les expériences
les plus précises, celles d'EotvôsEotvös en particulier
qui ont atteint le vingt-millionième, montrent que le
poids d'un corps est exactement proportionnel à sa
pour tous les corps. Si donc la masse (inertie) change
avec l'énergie interne, le poids doit changer aussi
exactement dans le même rapport : ''si l'énergie est
inerte, elle doit être en même temps pesante''. Nous pouvons
remarquer en particulier que les petits écarts
sur les masses atomiques, résultant des variations
fondamentales.
 
21. ''Le boulet de Jules Verne''. — La gravitation se
trouvant ainsi, pour la première fois, amenée en contact
ou en liaison avec les phénomènes électromagnétiques
passent à leur voisinage doit être que la lumière ne se
propage pas en ligne droite, pas plus qu'un mobile
lancé et abandonné à lui-même ne se meut d*'un mouvement
rectiligne et uniforme, ne satisfait à la loi d'inertie,
puisqu'il est dévié par la pesanteur. Le champ de
théorie de la relativité restreinte pour un Univers régi
par les lois de l'électromagnétisme sous leur forme
habituelle et que nous appellerons un ''Univers euclidien''
à cause de l'analogie signalée plus haut avec la géométrie
euclidienne. Un Univers euclidien est caractérisé par
existe à distance là où g commence à varier appréciablement
en grandeur ou en direction. Nous exprimerons
ce fait en disant ''qu'il y a un Univers euclidien
tangent en tout point et en tout lieu à V l'Univers réel'' :
c'est dans une petite étendue autour d'eux celui d'observateurs
en chute libre et sans rotation rapportant
d'appliquer aux mesures faites dans une étendue
limitée la géométrie euclidienne du plan et, en particulier,
d'exprimer la longueur d^ds d'un arc de courbe
infiniment petit tracé sur la surface en l'assimilant
à un élément de droite situé dans le plan tangent.
la corde tendue, ils pourront se croire suspendus par
cette corde et immobiles dans ce même champ de
gravitation. Il y a ainsi ''équivalence'', comme dit M. Einstein,
entre un champ de gravitation uniforme et une
accélération d'ensemble du système de référence.
du système de référence sont donc indiscernables
au point de vue physique. L'emploi d'un système de
référence en ''rotation'' par rapport à des axes de Galilée,
comme par exemple l'emploi d'axes liés à la Terre,
est ''équivalent'' à l'introduction d'un champ de gravitation
distribué exactement comme l'accélération centrifuge,
comme le champ de force centrifuge. Et nous
point matériel, propagation de la lumière, etc.
Nous voici donc conduits à l'énoncé suivant d'un
principe de relativité généralisé : à condition d'introduire
 
" ''A condition d'introduire un champ de gravitation convenablement distribué^
distribué, il est possible d'énoncer les lois de la Physique sous une
sous une forme complètement indépendante du système de référence'' ".
 
Tout se passe pour un système de référence en
rotation comme s'il était en translation et comportait
de la manière suivante, qui exprime le même fait
sous une forme plus précise :
 
" ''Les équations qui régissent les lois des phénomènes
physiques en présence d'un champ de gravitation quelconque
doivent conserver leur forme quand on change
d'une manière quelconque le système de référence employé'' ".
 
Cette condition d'invariance généralisée limite
extraordinairement les formes possibles pour les lois
de l'Univers. Grâce à l'introduction du ''calcul différentiel
absolu'' créé antérieurement par MM. Ricci et
Levi-Civita, et qui permet de former les combinaisons
jouissant de la propriété requise, M. Einstein a pu
région considérée.
 
22. ''La loi de gravitation''. — Il restait une dernière
étape à franchir. Si l'énergie est sensible au champ de
gravitation, comme la masse dans la théorie newtonienne,
comprendre ce qui suit.
 
23. ''Le champ de gravitation d'un centre''. — L'application
la plus immédiate de la loi, conforme au principe
de relativité généralisé, suivant laquelle le champ
par exemple.
 
24. ''Le mouvement des planètes''. — Partant de là,
on peut facilement trouver par la condition (8) le
mouvement d'un point libre lancé dans ce champ de
périhélie de 42''9 par siècle,
 
25. ''Le mouvement de Mercure''. — Or la planète
Mercure, depuis bientôt un siècle que Le Verrier en
a établi la théorie, fait le désespoir des astronomes par
céleste.
 
26. ''La déviation de la lumière''. — La formule (18)
permet, comme je l'ai indiqué, de trouver le trajet d'un
rayon lumineux qui reste déterminé par la condition
7. Actions à distance et actions de contact
8. La composition des vitesses
9. Les rayons ^beta du radium
10. L'entraînement des ondes
11. Le temps et l'espace relatifs
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