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le cycle $K'$ au point $\alpha$ et le cycle $K$ aux points $\beta$ et $\gamma$. On sait que les tangentes menées en $\alpha$ et $\gamma$ se coupent en un point $T$ de l’axe radical $\Omega$ des deux cycles; d’ailleurs, $\beta \delta$ est parallèle à $\alpha T$: il résulte donc de la définition donnée plus haut (9) que $\alpha T$ et $\gamma T$ sont deux semi-droites réciproques. L’enveloppe des réciproques des semi-droites qui enveloppent $K$ est donc le cycle $K'$: ce qu’il fallait démontrer.

14. On voit ainsi qu’un cycle $K$ a pour réciproque un cycle $K'$. La relation qui existe entre deux cycles réciproques est caractérisée par les deux propriétés suivantes:

1° Leur axe radical est l’axe de transformation;

2° Leurs tangentes communes sont parallèles à deux directions fixes, à savoir aux directions des semi-droites qui se transforment en elles-mêmes.

Désignons respectivement par $R$ et $R'$ les rayons des deux cycles (ces quantités étant données en grandeur et en signe) et par $D$ et $D'$ les distances de leurs centres à l’axe.^[1]

La première propriété donne la relation suivante:

$D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},$

et la deuxième, la relation

(1)

$D-D'=\alpha (R-R'),$

où $\alpha$ désigne une constante caractérisant la transformation; d’où encore, en combinant ces deux relations,

(2)

$D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R')$

1. On doit ici considérer l’axe de transformation comme une semi-droite, en lui donnant un sens arbitraire, de sorte que $D$ et $D'$ sont aussi déterminées en grandeur et en signe.