Sur les modes de transformation qui conservent les lignes de courbure

Gaston Darboux

Sur les modes de transformation qui conservent les lignes de courbure

1881
Comptes Rendus, 92, p. 286

GÉOMÉTRIE. — Sur les modes de transformation qui conservent les lignes de courbure. Note de M. G. Darboux.

Dans un travail antérieur^[1] j’ai énoncé le théorème suivant :

Étant donnée une surface $\left(\Sigma \right)$, on lui adjoint une sphère fixe $\left({\rm {S}}\right)$, et l’on construit toutes les sphères tangentes à la surface et coupant $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle constant $\alpha$. Par l’intersection de chacune de ces sphères et de $\left({\rm {S}}\right)$ on fait passer de nouvelles sphères coupant $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle constant $\beta$. Ces nouvelles sphères enveloppent une surface $\left(\Sigma _{1}\right)$, correspondante point par point à $\left(\Sigma \right)$ avec conservation des lignes de courbure. Les points correspondants sur les deux surfaces sont sur des cercles normaux à la fois aux deux surfaces et à la sphère $\left({\rm {S}}\right)$.

Cette proposition donnait un moyen nouveau de réaliser un mode de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure, auquel M. Ribaucour avait consacré quelques lignes dans une Communication faite à l’Académie en 1870 sur la déformation des surfaces. J’ajoutais le théorème suivant :

Considérons une surface $\left(\Sigma \right)$), enveloppe d’une série de sphères variables $\left({\rm {U}}\right)$ coupant sous des angles quelconques la sphère $\left({\rm {S}}\right)$. À chacune des sphères $\left({\rm {U}}\right)$ coupant $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle que j’appelle $\varphi$ on fait correspondre une sphère $\left({\rm {U_{1}}}\right)$ passant par l’intersection de $\left({\rm {S}}\right)$ et de $\left({\rm {U}}\right)$, et coupant $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle $\varphi _{1}$ déterminé par l’équation

(1)

${\frac {\cos \varphi -\cos \varphi _{1}}{1-\cos \varphi \cos \varphi _{1}}}=h$[2].

Alors les nouvelles sphères $\left({\rm {U_{1}}}\right)$ enveloppent une surface $\left(\Sigma _{1}\right)$ qui correspond point par point à $\left(\Sigma \right)$ avec conservation des lignes de courbure. Si l’on assujettit les sphères $\left({\rm {U}}\right)$ tangentes à $\left(\Sigma \right)$ à couper $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle constant, $\varphi$ sera constant ; il en sera de même de $\varphi _{1}$, en vertu de l’équation précédente, et l’on retrouve le théorème donné plus haut. »

» Ce qui caractérise cette nouvelle proposition, c’est qu’elle n’impose aucune autre condition aux sphères $\left({\rm {U}}\right)$ que celle d’être tangentes à la surface $\left(\Sigma \right)$. La surface transformée ne dépend que de $\left(\Sigma \right)$, de $\left({\rm {S}}\right)$ et de la constante $h.$ On rencontre un fait analogue dans la théorie des surfaces parallèles, et, si l’on considère toutes les sphères tangentes à une surface $\left(\Sigma \right)$, on en déduit, en conservant leurs centres et en augmentant leurs rayons d’une même quantité, toutes les sphères tangentes à une des surfaces parallèles à $\left(\Sigma \right)$. La transformation de sphères définie dans notre deuxième proposition est moins simple que la précédente ; mais elle offre l’avantage d’être plus générale, puisqu’elle dépend de la constante $h$ et des quatre paramètres qui déterminent la position de $\left({\rm {S}}\right)$.

» Supposons, en particulier, que la sphère $\left({\rm {S}}\right)$ se réduise à un plan $\left(\pi \right)$. Alors à tout plan $\left({\rm {P}}\right)$ correspondra un plan $\left({\rm {P'}}\right)$ passant par l’intersection de $\left(\pi \right)$ et de $\left({\rm {P}}\right)$, et les angles $\varphi ,\varphi '$ que font les plans $\left({\rm {P}}\right)$, $\left({\rm {P'}}\right)$ avec $\left(\pi \right)$ seront liés par la relation (1). Il n’est pas difficile de reconnaître, dans cette transformation d’un plan dans un autre, celle qui a été étudiée récemment par M. Laguerre sous le nom de transformation par directions réciproques. On voit qu’elle est comprise dans la transformation de sphères qui est définie par notre deuxième proposition.

» Je n’ai rappelé ces résultats que pour arriver à la proposition qui est l’objet principal de cette Communication. Je vais montrer, conformément à un théorème général de M. S. Lie^[3], que la transformation proposée en premier lieu par M. Ribaucour se ramène à des dilatations (passage d’une surface à la surface parallèle) et à des transformations par rayons vecteurs réciproques.

À cet effet, considérons la transformation de sphères précédemment définie. Je vais montrer que, lorsque la sphère $\left({\rm {S}}\right)$ dont elle dépend est une véritable sphère et ne se réduit pas à un plan, il existe toujours un rayon $\rho$ tel, que toutes les sphères de rayon $\rho$ ont pour transformées, quelle que soit leur position par rapport à $\left({\rm {S}}\right)$, des sphères de rayon égal à $-\rho$.

Désignons par ${\rm {R}}$ le rayon de $\left({\rm {S}}\right)$. Soient $\left({\rm {U}}\right)$, $\left({\rm {U'}}\right)$ deux sphères de rayons $\rho$, $-\rho$, coupant $\left({\rm {S}}\right)$ suivant le même cercle. Si l’on appelle $\varphi$, $\varphi '$ les angles sous lesquels ces sphères coupent $\left({\rm {S}}\right)$, on établira sans peine la relation

${\frac {\sin ^{2}\varphi }{\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}-2\mathrm {R} \rho \cos \varphi }}={\frac {\sin ^{2}\varphi '}{\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}+2\mathrm {R} \rho \cos \varphi '}}$,

d’où l’on déduit

${\frac {\cos \varphi -\cos \varphi '}{1-\cos \varphi \cos \varphi '}}={\frac {2\mathrm {R} \rho }{\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}}}$.

Cette relation est de même forme que la formule (1). Il suffira donc de déterminer $\rho$ par l’équation

${\frac {2\mathrm {R} \rho }{\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}}}=h$.

Alors les sphères $\left({\rm {U}}\right)$, $\left({\rm {U'}}\right)$ seront correspondantes dans la transformation définie par notre deuxième proposition. J’ajoute que leurs centres, situé en ligne droite avec le centre de $\left({\rm {S}}\right)$, seront inverses par rapport à la sphère $\left({\rm {S'}}\right)$, concentrique à $\left({\rm {S}}\right)$ et de rayon ${\sqrt {\mathrm {R} ^{2}-\rho ^{2}}}$.

D’après cela, soient $\left(\Sigma \right)$ une surface quelconque et $\left(\Sigma '\right)$ sa transformée. Si l’on prend toutes les sphères $\left({\rm {U}}\right)$ de rayon $\rho$ tangentes à $\left(\Sigma \right)$, elles auront pour transformées des sphères $\left({\rm {U'}}\right)$ de rayon $-\rho$, tangentes à $\left(\Sigma '\right)$. Les surfaces $\left(\Theta \right)$, $\left(\Theta '\right)$, lieux des centres des sphères $\left({\rm {U}}\right)$, $\left({\rm {U'}}\right)$, seront évidemment parallèles respectivement à $\left(\Sigma \right)$ et à $\left(\Sigma '\right)$, et, d’après ce qui vient d’être démontré, elles seront inverses l’une de l’autre par rapport à la sphère $\left({\rm {S'}}\right)$. On voit donc que l’on peut passer de $\left(\Sigma \right)$ à $\left(\Sigma '\right)$ : 1^o par une dilatation qui transforme $\left(\Sigma \right)$ en $\left(\Theta \right)$ ; 2^o par une inversion par rapport à la sphère auxiliaire ($\left({\rm {S'}}\right)$, inversion qui transforme $\left(\Theta \right)$ en $\left(\Theta '\right)$ ; 3^o enfin par une nouvelle dilatation qui transforme $\left(\Theta '\right)$ en $\left(\Sigma '\right)$.

Dans le cas spécial où la sphère $\left({\rm {S}}\right)$ se réduirait à un plan, il faudrait commencer par effectuer une inversion quelconque sur l’ensemble de la figure.

Je terminerai en remarquant que la recherche des modes de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure est liée de la manière la plus étroite avec celle des systèmes orthogonaux. Toutes les fois que l’on aura trouvé un système triple orthogonal dont une surface quelconque puisse faire partie, on en déduira un mode de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure. Dans un Mémoire inséré aux Annales de L’École Normale (2 e série, t. VII, p. 118), j’ai indiqué un moyen de former un système orthogonal contenant quatre fonctions arbitraires d’une seule variable indépendante et dont peut faire partie une surface quelconque. Les méthodes de transformation qui en résultent se ramènent également à des dilatations et à des inversions successivement opérées.

1. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, p. 254-255.
2. Ou mieux $\mathrm {tang} {\frac {\varphi }{2}}=\mathrm {tang} {\frac {\varphi _{1}}{2}}{\sqrt {\frac {1-h}{1+h}}}$.
3. S. Lie, Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe (Mathematische Annalen, t. V, p. 186).