« Papiers et écrits mathématiques » : différence entre les versions
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→LETTRE A AUGUSTE CHEVALIER : +1ref |
→MEMOIRE SUR LES CONDITIONS DE RESOLUBILITE PAR RADICAUX : mise en page, typo, corrections |
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Ligne 157 :
(pages 33-50)<ref>J'ai eu à ma disposition le manuscrit de Galois, la copie de Chevalier et une épreuve, Corrigée de la main de Liouville, mais ou ne figurent pas toutes les modifications apportées aux notes: j'aurai l'occasion de parler plusieurs fois de cette épreuve.</ref>.
Dans les quelques lignes d'introduction au Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux que Galois avait
''J'ai jugé convenable de placer en tête de ce Mémoire la préface qu'on va lire, bien que je l'aie trouvée biffée dans le manuscrit. Ce manuscrit est précisemment celui que l'auteur présenta à l'Académie.''
Ligne 191 :
''…, en général par quantité rationnelle une quantité qui s'exprime en fonction rationnelle des coefficients de la proposée.''
Dans la marge de la troisième page du manuscrit, en face du lemme III (page 36), se trouve la note an crayon que voici:
''La démonstration de ce lemme n'est pas suffisante ; mais il est vrai, d'après le n° 100 du Mémoire de Lagrange'', Berlin, 1775.
- 8 hleure: je crois lue Galois a dd, à cette dernière, remanier et développer Iativement la démonstration de ce lemme IV ; elle ne comportait probablement, dans le texte primitif, que quatre ou cinq lignes ; elle est maintenant écrite, partie dans la marge, partie dans le blanc qui restait an bas de la page, d'une écriture serrée, nerveuse : all reste, un mot injurieux, I)iff, et qui est de la même encre (que le (( chernibins ) de la couverture ne laisse guère de doute sur l'impatience que ce passage a tait eplronver ' l'auteur. La note de la page 38 des OEuvres est en marge, en face de la proposition I. A la site de cette note, avec 'indication ( à reporter dans les définitions, se trouve ce qui est imprimé pages 35 et 36, à partir de la ligne (2 (Les substitutiions sont...) juisqu'à la ligne 3 (la substitution ST); ce passage est en face du texte imprimé du milieu de la page 38 ant milieu de la page 39. En marge de la page suivante (cinquième) du manuscrit, et scholie 11 (') (page 4/o) est immédiatement Ire e'tcd de ces indications, (lti sont biffées: Ce qui caractérise un groupe (. On peut partir d'une des permutations quelconques du groupe. Vraisemblablement, c'est après avoir écrit et bile ces lignes que Galois s'est décidé à écrire le passage ( à reporter dans les définitions,. Un peu plus bas est la note (... je n'ai pas le tems, puis cinq lignes biffées, mais qui sont d'une écriture calme et remontent peut-être à la première rédaction, les voici Car si l'on élimine /' entre f(V, r) = o ct F '= o F(i') étant du degré premier, il ne peut arriver que de deux choses l'une : ou le résultat de l'élimination sera (de mein degré cn V que f(V, z) onl il sera d'un degré p fois plus grand. Ce passage biffé doit évidemment être rapproché des indications données dans le premier alinéa de la note de la page 40. Ces indications sont de Liouville ; la note de Chevalier était ainsi conçue vis-à-vis la démonstration de ce théoreme, dans le manuscrit j'ai trouvé ( Il y a quelque chose... ) (') Les nuintros I, II des scholies (p. 39 et 'o) ne sont pas clan. Le manuscrit.▼
Au-dessous, Galois a écrit :
Nous avons transcrit textuellement la démonstration que nous avons donnée de ce lemme dans un Mémoire présenté en 1830. Nous y joignons comme document historique la note suivante qu'a cru devoir y apposer M. Poisson.
On jugera.
Puis, plus bas :
''Note de l'auteur.''
Galois voulait évidemment que la note de Poisson<ref>Grâce à l'obligeance de Mme de Blignières, j'ai pu comparer l'écriture de cette note avec celle de Poisson, dans une lettre à Liouville; aucun doute ne peut subsister.
</ref> et son propre commentaire fussent publiés. Au surplus, les notes de Poisson et de Galois figurent dans la copie de Chevalier et dans l'épreuve. Liouville les a supprimées finalement, pour des raisons évidentes.
La note de la page 37 des ''Œuvres'' est en face du lemme IV et semble le d'une encre différente de celle du texte; mais il ne me parait nullement certain que ce soit une addition de la dernière heure: je crois que Galois a dû, à cette dernière heure, remanier et développer hâtivement la démonstration de ce lemme IV; elle ne comportait probablement, dans le texte primitif, que quatre ou cinq lignes; elle est maintenant écrite, partie dans la marge, partie dans le blanc qui restait au bas de la page, d'une écriture serrée, nerveuse : au reste, un mot injurieux, biffé, et qui est de la même encre que le « chérubins » de la couverture ne laisse guère de doute sur l'impatience que ce passage a fait éprouver l'auteur.
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C'est ainsi qu'elle figure dans l'épreuve. Les six premières lignes de la note de la page /o sont donc de Liouville. Au reste, Liouville a été visiblement préoccupé de cee endroit (proposition 11) du texte de Galois : il a jugé un moment convenable de reprendre l'hypothèse primitive de Galois (p premier) et d'éclaircir complètement la démonstration dans ce cas, par une note que je crois devoir transcrire, non pas qu'elle puisse apprendre quelque chose au lecteur, mais parce qu'elle me semble une trace touchante des soins et des scrupules que Liouville apportait dans sa publication ; le renvoi correspondrait à la ligne o de la page /io des OEuvres : Ceci mérite d'être expliqué avec quelque détail. Designons par, '(V) = o l'équation dont l'auteur parle, et soient f(NV, r), f1(V,,..., f..., - ) les factcurs irréductibles dans lesquels, (V) devient décomposable par l'adjonction de r, en sorte que, ( V) = f( ) (,,) 7( v (, )... / (V, I,). Comme r est racine d'une équation irréductible, on pourra dans le second membre remplacer r par r', 'r",., r(1). Ainsi (V)I) est le produit des i quantités suivantes f(V, /).(V, )... f(V, )(-') f,(V, r) fi(V, r')... fl(V,,.(-i)).fi- I (V,,')fi-i(V, I.,)... fi-i(V, 7(p-1)), dont chacune, symétrique en r, r',..., r' (P-1 et par suite exprimable en fonction rationnelle de V indépendamment de toute adjonction, doit diviser I(V)P et se réduire en conséquence a une simple puissance cl polynome q(V) qui cesse de se résoudre en facteurs lorsqu'on n'adjoint pas les auxiliaires r, r', etc. J'ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations J(V, r') = o,fl(V, r)= o,...,fi-_(V, r) = o qui dérivent de,'(V)= o et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d'être du même degré. En faisant donc .f(V,,)f(V, ')...f(V, (/,-,))- = (V)IV, on en conclura p = il. Mais p est premier ct i > i; donc on a i = p, d'o-) r = t, ct enfin (V) = f(V, r)f(V, r')... f(V,,(v —li). Cc qu'il fallait demontrer. LIOUVIILE.
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